标签：Function rt phi int 2021ICPC tag mul Euler mod
思路：线段树区间乘法，维护$\phi(x_i)$，每次update w的质因子。
几个性质：
- 当$m$与$n$互质时有$\phi(m*n)==\phi(m)*\phi(n)$（这时使用单点修改）
- 当$k$是一个质数时，$\phi(k)==k-1$（这个代码里没有用到，但可以便于打表）
- $w$是一个质数，此时如果$\gcd(w,x_i)==w$则$\phi(w*x_i)==w*\phi(x_i)$。（如果一个区间里的$x_i$都满足这一点，可以区间修改）
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<cmath>
4 #include<cstring>
5 #include<queue>
6 #include<cstdlib>
7 using namespace std;
8
9 #define mxp 114 //最大需要处理的数字
10 #define ll long long
11 #define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
12 #define drep(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
13 #define maxn 114514
14 #define lson rt<<1
15 #define rson rt<<1|1
16 inline char nc(){
17 static char buf[100010],*p1=buf,*p2=buf;
18 return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
19 }
20 #ifndef ONLINE_JUDGE
21 #define nc() getchar()
22 #endif
23 inline int read(){
24 int x=0,y=1;
25 char ch=nc();
26 while(ch<'0'||ch>'9'){
27 if(ch=='-')y=-y;
28 ch=nc();
29 }
30 while(ch>='0'&&ch<='9'){
31 x=10*x+(ch^48);
32 ch=nc();
33 }
34 return x*y;
35 }
36 int n,m,cnt;
37 ll phi[255];
38 const ll mod=998244353;
39 ll tr_phi[maxn<<2];//欧拉函数之和
40 ll seq[maxn];
41 ll tag_mul[maxn<<2];
42 bool isNP[514];
43 ll prime[514];
44 bool MUL[maxn<<2][514];
45 inline void getprime(int x){
46 rep(i,2,x){
47 if(!isNP[i])prime[++cnt]=i;
48 rep(j,1,cnt){
49 if(i*prime[j]>x)break;
50 isNP[i*prime[j]]=1;
51 if(i%prime[j]==0)break;
52 }
53 }
54 }
55 void pushdown(int l,int r,int rt){
56 int mid=(l+r)>>1;
57 if(tag_mul[rt]!=1){
58 tr_phi[lson]*=tag_mul[rt];
59 tr_phi[lson]%=mod;
60 tr_phi[rson]*=tag_mul[rt];
61 tr_phi[rson]%=mod;
62 tag_mul[lson]*=tag_mul[rt];
63 tag_mul[lson]%=mod;
64 tag_mul[rson]*=tag_mul[rt];
65 tag_mul[rson]%=mod;
66 tag_mul[rt]=1;
67 }
68 return;
69 }
70 void pushup(int rt){
71 tr_phi[rt]=(tr_phi[lson]%mod+tr_phi[rson]%mod)%mod;
72 rep(i,2,mxp){
73 MUL[rt][i]=MUL[lson][i]&MUL[rson][i];
74 }
75 }
76 void build(int l,int r,int rt){
77 tag_mul[rt]=1;
78 if(l==r){
79 int dt=seq[l];
80 tr_phi[rt]=phi[dt];
81 rep(i,1,cnt){
82 int cur_pm=prime[i];
83 if(dt%cur_pm==0){
84 MUL[rt][cur_pm]=1;
85 }
86 }
87 return;
88 }
89 int mid=(l+r)>>1;
90 build(l,mid,lson);
91 build(mid+1,r,rson);
92 pushup(rt);
93 }
94 void update(int L,int R,int l,int r,int rt,ll w){//这个更新的w只考虑质因子。
95 if(L<=l&&R>=r&&MUL[rt][w]){
96 tr_phi[rt]*=w;
97 tag_mul[rt]*=w;
98 tr_phi[rt]%=mod;
99 tag_mul[rt]%=mod;
100 return;
101 }
102 if(l==r){
103 tr_phi[rt]*=phi[w];
104 tr_phi[rt]%=mod;
105 tag_mul[rt]=1;
106 MUL[rt][w]=1;
107 return;
108 }
109 pushdown(l,r,rt);
110 int mid=(l+r)>>1;
111 if(L<=mid)update(L,R,l,mid,lson,w);
112 if(mid+1<=R)update(L,R,mid+1,r,rson,w);
113 pushup(rt);
114 }
115 ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
116 if(r<L||l>R)return 0;
117 if(L<=l&&r<=R)return tr_phi[rt];
118 pushdown(l,r,rt);
119 int mid=(l+r)>>1;
120 return (query(L,R,l,mid,lson)%mod+query(L,R,mid+1,r,rson)%mod)%mod;
121 }
122 inline void getphi(int x){
123 phi[0]=0,phi[1]=1;
124 rep(i,2,x)phi[i]=i;
125 rep(i,2,x){
126 if(phi[i]==i){
127 for(int j=i;j<=x;j+=i){
128 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
129 }
130 }
131 }
132 }
133 int main(){
134 getphi(125);
135 getprime(125);
136 n=read(),m=read();
137 rep(i,1,n){
138 seq[i]=read();
139 }
140 build(1,n,1);bool flag=1;
141 rep(i,1,m){
142 int op=read(),x=read(),y=read();
143
144 if(op==1){
145 flag? printf("%lld",query(x,y,1,n,1)),flag=0:printf("\n%lld",query(x,y,1,n,1));
146 }
147 else if(op==0){
148 ll up=read();
149 int cur=1;
150 while(cur<=cnt){
151 ll cur_p=prime[cur];
152 while(up%cur_p==0){
153 update(x,y,1,n,1,cur_p);
154 up/=cur_p;
155 }
156 if(up==1)break;
157 ++cur;
158 }
159 }
160 }
161 return 0;
162 }
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