网络流
1. 网络流原理
原理
1.1 流网络
-
是一个有向图
G=(V, E)，可以存在环。该有向图中存在一个源点s和一个汇点t。边上的权重被称为容量c。 -
如下图就是一个流网络：
1.2 可行流
-
可行流
f表示满足一定条件的网络流。需要满足如下两个条件：-
（1）容量限制： 0 ≤ f ( u , v ) ≤ c ( u , v ) 0 \le f(u, v) \le c(u, v) 0≤f(u,v)≤c(u,v)，其中 f ( u , v ) 、 c ( u , v ) f(u, v)、c(u, v) f(u,v)、c(u,v) 分别表示从
u到v的流量和容量。 -
（2）流量守恒： ∀ x ∈ V / { s , t } , ∑ ( u , x ) ∈ E f ( u , x ) = ∑ ( x , v ) ∈ E f ( x , v ) \forall x \in V/\{s, t\}, \sum _{(u, x) \in E} f(u, x) = \sum _{(x, v) \in E} f(x, v) ∀x∈V/{s,t},∑(u,x)∈Ef(u,x)=∑(x,v)∈Ef(x,v)，即除了源点和汇点之外，流入任意点
x的流量等于流出该点的流量。
-
-
可行流
f的大小用|f|表示，表示从源点s流向其他点的流量。公式表示为：
∣ f ∣ = ∑ ( s , v ) ∈ E f ( s , v ) − ∑ ( v , s ) ∈ E f ( v , s ) |f| = \sum _{(s, v) \in E} f(s, v) - \sum _{(v, s) \in E} f(v, s) ∣f∣=(s,v)∈E∑f(s,v)−(v,s)∈E∑f(v,s)
一般来说，后一项为0。
-
最大流：指的是网络
G的最大可行流（即对应的|f|最大）。 -
如下图红色标出的是一个可行流，同时也是一个最大流：
- 一个网络可能会有很多可行流（甚至无穷多个），但是最大流只有一个。
1.3 残留网络
-
残留网络是针对图
G的某一个可行流f而言的，记为 G f G_f Gf 。残留网络和可行流是一一对应的。 -
残留网络记为 G f = ( V f , E f ) G_f = (V_f, E_f) Gf=(Vf,Ef)，其中 V f = V V_f = V Vf=V， E f = E ∪ E 对 应 的 所 有 反 向 边 E_f = E \cup E对应的所有反向边 Ef=E∪E对应的所有反向边。残留网络也是一个流网络，各个边对应的容量定义如下：
c ′ ( u , v ) = { c ( u , v ) − f ( u , v ) ( u , v ) ∈ E f ( v , u ) ( v , u ) ∈ E c'(u, v) = \begin{cases} c(u, v) - f(u, v) \quad \quad (u, v) \in E \\ f(v, u) \quad \quad (v, u) \in E \end{cases} c′(u,v)={c(u,v)−f(u,v)(u,v)∈Ef(v,u)(v,u)∈E
也就是说残留网络的反向边容量 等于 原图的正向边的流量，残留网络的正向边的容量 等于 原图边的容量减去流量。
- 上面例子可行流
f对应的残留网络如下图（蓝边是原图中存在的边，红边是反向边）：
-
给定一个流网络
G，对于G的一个可行流f，我们可以得到一个残留网络 G f G_f Gf，若该残留网络存在一个可行流f'，则有：f+f'是原图G的一个可行流。且|f+f'| = |f| + |f'|。 -
这里定义的两个可行流相加：每条边对应的权值相加，如果
f'对应边的方向和f中对应边的方法相同，则将f'中对应边累加到f边中；如果方向不同，则让f中对应的边减去f'中对应边的权值。 -
上述结论的证明：需要证明两点：（1）容量限制；（2）流量守恒；
-
（1）容量限制：
-
如果两个可行流中边的方向相同，则 0 ≤ f ′ ( u , v ) ≤ c ′ ( u , v ) = c ( u , v ) − f ( u , v ) 0 \le f'(u, v) \le c'(u, v) = c(u, v) - f(u, v) 0≤f′(u,v)≤c′(u,v)=c(u,v)−f(u,v)，所以 0 ≤ f ′ ( u , v ) + f ( u , v ) ≤ c ( u , v ) 0 \le f'(u, v) + f(u, v) \le c(u, v) 0≤f′(u,v)+f(u,v)≤c(u,v)；（此时原图中的边方向是
(u, v)）； -
如果两个可行流中边的方向不同，则 0 ≤ f ′ ( u , v ) ≤ c ′ ( u , v ) = f ( v , u ) ≤ c ( v , u ) 0 \le f'(u, v) \le c'(u, v) = f(v, u) \le c(v, u) 0≤f′(u,v)≤c′(u,v)=f(v,u)≤c(v,u)，所以 0 ≤ f ( v , u ) − f ′ ( u , v ) ≤ c ( v , u ) 0 \le f(v, u) - f'(u, v) \le c(v, u) 0≤f(v,u)−f′(u,v)≤c(v,u)；（此时原图中的边方向是
(v, u)）；
-
-
（2）流量守恒：考虑
f或者f'中的某个点，因为在两个图中原来是流量守恒的，因此相加后流量也是守恒的。 -
最后还要证明
|f+f'| = |f| + |f'|，根据定义：可行流的流量指的是从源点流出的流量大小，因此等式成立。
1.4 增广路径
-
在残留网络中，从源点
s出发，沿着容量大于零的边，如果能到达汇点t，那么这条路径就被称为增广路径。 -
上面的例子中对应的残留网络不存在增广路径。下面的例子存在一个增广路径：
-
一个增广路径其实就是指：一个最简单的流量大于零的可行流。
-
有如下结论：如果可行流
f是最大流，则f对应的残留网络中不存在增广路径。 -
可以使用反证法证明：如果可行流
f是最大流，并且f对应的残留网络中存在增广路径。因为增广路径本质上是残留网络中一个流量大于零的可行流，记为f'，由上面的讲解可知f+f'是原图的一个更大的可行流，因此推出f不是最大流，矛盾。所以假设不成立，原结论成立。 -
那现在存在一个问题：上述结论反过来是否成立呢？即：若原图的一个可行流
f对应的残留网络中不存在增广路径，是否可以推出f是最大流呢？结论是可以推出。这个结论的证明就需要借助下面割的概念。
1.5 割
-
定义：将点集
V分成不重不漏的两个子集S、T，即 S ∩ T = ∅ , S ∪ T = V S \cap T = \empty, S \cup T = V S∩T=∅,S∪T=V ，且 s ∈ S , t ∈ T s \in S, t \in T s∈S,t∈T，则[S、T]称为原图的一个割。 -
割的容量：原图中所有从
S指向T的容量之和，即 c ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T c ( u , v ) c(S, T) = \sum _{u \in S} \sum _{v \in T} c(u, v) c(S,T)=∑u∈S∑v∈Tc(u,v)。最小割：指的是容量最小对应的割。 -
割的流量：原图对应的可行流
f中，从S到T的流量之和 减去 从T到S的流量之和，即 f ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) − ∑ v ∈ S ∑ u ∈ T f ( u , v ) f(S, T) = \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(u, v) - \sum _ {v \in S} \sum _ {u \in T} f(u, v) f(S,T)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)−∑v∈S∑u∈Tf(u,v)。
- 对于任意原图的可行流
f，任意割[S, T]，有|f| = f(S, T)。证明如下：
首先由如下前置知识，对于
f
(
X
,
Y
)
=
∑
u
∈
X
∑
v
∈
Y
f
(
u
,
v
)
−
∑
v
∈
X
∑
u
∈
Y
f
(
u
,
v
)
f(X, Y) = \sum _ {u \in X} \sum _ {v \in Y} f(u, v) - \sum _ {v \in X} \sum _ {u \in Y} f(u, v)
f(X,Y)=∑u∈X∑v∈Yf(u,v)−∑v∈X∑u∈Yf(u,v)：
f
(
X
,
Y
)
=
−
f
(
Y
,
X
)
f
(
X
,
X
)
=
0
f
(
Z
,
X
∪
Y
)
=
f
(
Z
,
X
)
+
f
(
Z
,
Y
)
前
提
：
X
∩
Y
=
∅
f
(
X
∪
Y
,
Z
)
=
f
(
X
,
Z
)
+
f
(
Y
,
Z
)
前
提
：
X
∩
Y
=
∅
f(X, Y) = -f(Y, X) \\\\ f(X, X) = 0 \\\\ f(Z, X \cup Y) = f(Z, X) + f(Z, Y) \quad \quad 前提：X \cap Y = \empty \\\\ f(X \cup Y, Z) = f(X, Z) + f(Y, Z) \quad \quad 前提：X \cap Y = \empty
f(X,Y)=−f(Y,X)f(X,X)=0f(Z,X∪Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)前提：X∩Y=∅f(X∪Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)前提：X∩Y=∅
因为
S
∪
T
=
V
,
S
∩
T
=
∅
S \cup T = V, S \cap T = \empty
S∪T=V,S∩T=∅，因此有：
f
(
S
,
V
)
=
f
(
S
,
S
)
+
f
(
S
,
T
)
f(S, V) = f(S, S) + f(S, T)
f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)，所以：
f
(
S
,
T
)
=
f
(
S
,
V
)
−
f
(
S
,
S
)
=
f
(
S
,
V
)
=
f
(
{
s
}
,
V
)
+
f
(
S
−
{
s
}
,
V
)
=
f
(
{
s
}
,
V
)
+
f
(
S
′
,
V
)
=
f
(
{
s
}
,
V
)
=
∣
f
∣
f(S, T) = f(S, V) - f(S, S) \\\\ = f(S, V) \\\\ = f(\{s\}, V) + f(S-\{s\}, V) \\\\ = f(\{s\}, V) + f(S', V) \\\\ = f(\{s\}, V) = |f|
f(S,T)=f(S,V)−f(S,S)=f(S,V)=f({s},V)+f(S−{s},V)=f({s},V)+f(S′,V)=f({s},V)=∣f∣
上式中
S
′
=
S
−
{
s
}
S'= S-\{s\}
S′=S−{s}，因为S'中不包含源点和汇点，因为流量守恒，所以
f
(
S
′
,
V
)
=
0
f(S', V) = 0
f(S′,V)=0。形式化证明：
f
(
S
′
,
V
)
=
∑
u
∈
S
′
∑
v
∈
V
f
(
u
,
v
)
−
∑
u
∈
S
′
∑
v
∈
V
f
(
v
,
u
)
=
∑
u
∈
S
′
(
∑
v
∈
V
f
(
u
,
v
)
−
∑
v
∈
V
f
(
v
,
u
)
)
=
0
f(S', V) = \sum _ {u \in S'} \sum _ {v \in V} f(u, v) - \sum _ {u \in S'} \sum _ {v \in V} f(v, u) \\\\ = \sum _ {u \in S'} \Big( \sum _ {v \in V}f(u, v) - \sum _ {v \in V} f(v, u) \Big) = 0
f(S′,V)=u∈S′∑v∈V∑f(u,v)−u∈S′∑v∈V∑f(v,u)=u∈S′∑(v∈V∑f(u,v)−v∈V∑f(v,u))=0
- 对于任意原图的可行流
f，任意割[S, T]，有|f| <= c(S, T)。证明如下：
∣ f ∣ = f ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) − ∑ v ∈ S ∑ u ∈ T f ( u , v ) ≤ ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) ≤ ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T c ( u , v ) = c ( S , T ) |f| = f(S, T) = \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(u, v) - \sum _ {v \in S} \sum _ {u \in T} f(u, v) \\\\ \le \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(u, v) \\\\ \le \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} c(u, v) = c(S, T) ∣f∣=f(S,T)=u∈S∑v∈T∑f(u,v)−v∈S∑u∈T∑f(u,v)≤u∈S∑v∈T∑f(u,v)≤u∈S∑v∈T∑c(u,v)=c(S,T)
- 推论：因为任意可行流小于等于任意割的容量，因此有最大流<=最小割。
最大流最小割定理
-
下面三句话是等价的：
-
（1）可行流
f是最大流； -
（2）可行流
f的残留网络中不存在增广路； -
（3）存在某个割
[S, T]，有|f| = c(S, T)。
-
-
接着是上述定理的证明，这里证明（1）可以推出（2），（2）可以推出（3），（3）可以推出（1）即可。
（1）->（2）：
- 1.4中已经使用反证法证明了。
（3）->（1）：
-
已知：存在某个割
[S, T]，有|f| = c(S, T)，需要证明f是最大流。 -
最大流 <=
c(S, T) = |f|，又因为 最大流 >=|f|，因此f是最大流。 -
另外最大流等于最小割，这是因为：最小割 <=
c(S, T)=|f|<= 最大流，且 最小割 >= 最大流。
（2）->（3）：
-
我们的思路是构造一个割，使得割的容量等于可行流的流量。构造方式如下：
-
S：在 G f G_f Gf 中，从源点
s出发，沿着容量大于0的边能够走到的所有点的集合。因为不存在增广路，所以汇点t一定不属于S。 -
T：
T = V - S。汇点t属于T。 -
此时
[S, T]是一个割，下面要验证从该可行流f对应的残留网络构造的割的容量是否等于|f|。考虑原图中S指向T的边，则这些边上的流量一定等于边上的容量，即f(x, y) = c(x, y)， x ∈ S , y ∈ T x \in S, y \in T x∈S,y∈T，因为这些边在残留网络中一定为0；考虑从T指向S的边，这些边上的流量一定为0，如果不为0的话，意味着对应的残留网络中会有一条从S指向T的反向边，且边权不为0，和我们的构造方式矛盾。如下图：
所以有：
∣
f
∣
=
f
(
S
,
T
)
=
∑
u
∈
S
∑
v
∈
T
f
(
u
,
v
)
−
∑
u
∈
S
∑
v
∈
T
f
(
v
,
u
)
=
∑
u
∈
S
∑
v
∈
T
f
(
u
,
v
)
=
∑
u
∈
S
∑
v
∈
T
c
(
u
,
v
)
=
c
(
S
,
T
)
|f| = f(S, T) \\\\ = \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(u, v) - \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(v, u) \\\\ = \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} f(u, v) \\\\ = \sum _ {u \in S} \sum _ {v \in T} c(u, v) \\\\ = c(S, T)
∣f∣=f(S,T)=u∈S∑v∈T∑f(u,v)−u∈S∑v∈T∑f(v,u)=u∈S∑v∈T∑f(u,v)=u∈S∑v∈T∑c(u,v)=c(S,T)
证毕！
算法思想：FF
while (存在增广路) {
(1) 找增广路;
(2) 更新残留网络;
}
-
我们维护的是残留网络，每次在残留网络中如果能够找到一条增广路径的话，如果该增广路径上边权最小值为
k，则让该路径上的所有正向边-k，所有反向边+k，可行流的流量+k。 -
为了方便维护，我们让残留网络的正向边、反向边编号分别为
(0, 1)、(2, 3)、...，这样，当我们知道其中的一条边i，则另一条边为i^1。 -
常用的网络流算法有：
-
（1）EK算法，时间复杂度： O ( n × m 2 ) O(n \times m ^ 2) O(n×m2)；
-
（2）dinic算法，时间复杂度： O ( n 2 × m ) O(n^2 \times m) O(n2×m)；
-
（3）ISAP、HLPP等。
-
-
实际使用中我们并不要考虑时间复杂度，一般来说，如果点数+边数不超过一万，可以使用EK算法；如果点数+边数不超过一万，可以使用dinic算法。
2. AcWing上的网络流题目
AcWing 2171. EK求最大流
问题描述
- 问题链接：AcWing 2171. EK求最大流
分析
-
最大流模板题。
-
每次使用
bfs算法求解残留网络中的增广路即可。
代码
- C++
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 20010, INF = 1e8;
int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx; // f: 记录边权(容量)
int q[N]; // bfs使用的队列
int d[N]; // 从S到当前点边权最小值
int pre[N]; // 到达当前点对应的正向边
bool st[N]; // 遍历图使用到的判重数组
// 加入原图中的边，以及反向边
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; // 加入(a, b, c)
e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx++; // 加入(b, a, 0)
}
// 判断残留网络是否存在增广路径 以及 求解增广路径
bool bfs() {
memset(st, 0, sizeof st);
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = S, st[S] = true, d[S] = INF;
while (hh <= tt) {
int t = q[hh++];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
int ver = e[i];
if (!st[ver] && f[i]) { // 未被遍历过，并且边权不为0
st[ver] = true;
d[ver] = min(d[t], f[i]);
pre[ver] = i;
if (ver == T) return true;
q[++tt] = ver;
}
}
}
return false;
}
int EK() {
int r = 0; // 最大流对应数值
while (bfs()) {
r += d[T];
for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) { // e[pre[i] ^ 1]是i的前驱点
f[pre[i]] -= d[T]; // 正向边减去k=d[T]
f[pre[i] ^ 1] += d[T]; // 反向边加上k=d[T]
}
}
return r;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
printf("%d\n", EK());
return 0;
}
标签：可行,增广,int,sum,网络,残留 来源： https://blog.csdn.net/weixin_42638946/article/details/120508463
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