标签:begin right end matrix 数学 2n 卡特兰 left
前言
卡特兰数是初赛中比较重要的数学知识,所以写篇博客总结一下。
定义
用 \(C_n\) 表示从 \((0,0)\) 出发,每次只能向右或向上走 1 步,且 \(x\) 轴的值始终不小于 \(y\) 轴的值,到 \((n,n)\)的方案种数。
通项+证明
\[C_n=\dfrac{1}{n+1}\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\right) \]证明:
不考虑越过线的情况的话显然有 \(\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\right)\) 种情况。
考虑非法的情况,令直线 \(l:y=x+1\),那么每一个非法的方案都与 \(l\) 有至少 1 个交点。
对于每一个方案,我们取 \(x\) 值最小且在 \(l\) 上的点记为 \(p(x_1,y_1)\),将 \(x>x_1,y\leq x\) 的点沿 \(l\) 对称,那么就变为从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径了,显然是一个映射,所以有 \(\left(\begin{matrix}2n \\ {n-1}\end{matrix}\right)\) 种非法方案。
所以 \(C_n=\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix}2n \\ {n-1}\end{matrix}\right)\)。
化简
\[\begin{aligned} C_n=&\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix}2n \\ {n-1}\end{matrix}\right) \\ =&\dfrac{(2n)!}{n!\cdot n!}-\dfrac{(2n)!}{(n-1)!\cdot (n+1)!}\\ =&(2n)!\cdot\bigg[\dfrac{(n+1)-n}{n!\cdot (n+1)!}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{n+1}\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\right) \end{aligned} \]应用
- \(n\) 对括号的合法配对方案书
- \(n\) 个节点的二叉树的形态数
- \(n+1\) 个叶子(\(n\) 个非叶节点)的满二叉树的形态数, 走到左儿子 \(+1\),走到 右儿子 \(-1\),类似于括号匹配(大致同2)
- \(n\) 个数入栈后出栈的排列总数
- 对凸 \(n+2\) 边形进行不同的三角形分割的方案数(分割线断点仅为顶点,且分割线仅在顶点上相交)
- \(n\) 层的阶梯切割为 \(n\) 个矩形的切法数
转自 https://www.cnblogs.com/linzhengmin/p/11298140.html。
标签:begin,right,end,matrix,数学,2n,卡特兰,left 来源: https://www.cnblogs.com/JCKing123/p/15302171.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。