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<学习笔记>筛法

2021-09-11 11:35:48  阅读:132  来源: 互联网

标签:埃氏 筛法 标记 合数 倍数 质数


<学习笔记>筛法

​ 近日学习了两种筛法, 埃氏筛法和线性筛法

筛法

​ 因为质数的因子只有本身和1, 因此一个大于1的数x的倍数都不是质数

​ 根据这个朴素的想法, 我们可以对i的倍数打标记

​ 这样效率是\(O(NlnN)\)的

埃氏筛法

​ 把上面的筛法优化一下, 我们可以发现, 如果一个合数x是P的倍数标记过(P为任意一个质数), 那么他的倍数也是P的倍数, 也就是说, 能被x标记的都被P标记过。

​ 也就是说我们只需要对所有质数的倍数打标记

​ 效率为\(O(\sum_{P<=N}[P为素数]/P)\)​, 其中这个和式的值约为\(ln lnN+M\), 其中M被称为麦尔滕常数, 在0.2~0.3之间

欧拉筛法

​ 我们对这个埃氏筛法再优化一下, 举个栗子6会被2和3两个数标记到, 也就是说我们重复标记了某一些数

​ 解决方法是让每个合数都只被标记过一次, 每个合数都能分解成若干个质因数的积

​ 具体操作是这样的: 我们只让最小的质因子来标记他, 对于某一个数i, 按P从小到大来, 如果i不是P的倍数(即P不是i的最小质因子), 那么\(i\cdot P\)​肯定能消掉一个未知的合数, 否则i被P标记过了, 此时P为i的最小质因子, 那么对于i的任意倍, 都会被P筛过

​ 也就是说我们每次要么干掉一个未被标记的合数, 要么干掉自己, 所有数被标记的次数最多为1

​ 效率为\(O(N)\)

参考资料:筛法 - OI Wiki (oi-wiki.org)

标签:埃氏,筛法,标记,合数,倍数,质数
来源: https://www.cnblogs.com/gllonkxc/p/15254118.html

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