标签：洛谷 int 询问 dep P4216 LCA now sum
算法：树状数组+离线思想+倍增LCA
时间复杂度：\(O(nlogn)\)（假设点数，边数与询问数相同）
第一问显然，为两者距离加\(1\)，可以用LCA算出。（加\(1\)是因为算的是点的个数，而两者距离则是边的个数）
第二问，设当前有一个询问\((x,y,c)\)，当前时间为\(now\)，考虑什么点才会对这个询问产生贡献。
不难得出，这个点需要满足两个条件
\(1\).这个点在\(x\)到\(y\)的路径上
\(2\).这个点有一个时间戳（即这个点最开始被派任务的时间）设为\(t\)，且\(now-t>c\)（即算出这个点的现在的危险值与\(c\)比较）。
对第二个条件进行转化，变为\(now-c>t\)，将不同属性（即\(now\)和\(c\)是现在的属性，\(t\)是过去的属性）的变量分开。
结合第一个条件，不难得出询问的本质：问\(x\)到\(y\)的路径上有多少个点的时间戳小于\(now-c\)，而且带修改。
先将问题简化，考虑不带修（即最开始每个点都有一个时间戳）。
转化问题，设\(sum[x]\)表示从\(x\)到根这一条路径上小于当前询问\(now-c\)的点的个数，那么对于当前询问答案就是\(sum[x]+sum[y]-sum[LCA(x,y)]-sum[father[LCA(x,y)]]\)
考虑离线转化，将询问记录在每个点上，然后使用dfs遍历，遍历到一个点的时候同时处理询问即可。
具体来说，用一个数组\(a\)记录所有时间戳的个数，\(a[i]\)表示时间戳为\(i\)的点有多少个。
在dfs的时候，遍历到当前点\(i\)，就让\(a[dfn[i]]++\)，处理与\(i\)有关的询问，然后继续遍历，在从\(i\)回溯之前，就让\(a[dfn[i]]--\)。每次处理询问查询的都是一个区间和，用树状数组维护即可。每次刚开始对一个点处理询问时，树状数组记录的都是从\(i\)到根这一条路径上所有点的不同的时间戳个数。不难得出，这种方法是正确的。
事实上，这种树上离线的思想非常重要，各位可以记下来。另有一道题：NOIP天天爱跑步，用了类似的思想，感兴趣的可以去挑战一下
回到本题，带修怎么办？
观察\(now-c\)，发现\(c\)为非负整数，所以在一个询问后面的修改的点的时间戳，并不能影响当前这个询问。所以我们可以一次性读入所有的时间戳，转化为上面的问题进行处理即可。
那如果\(c\)可以为负数怎么办？
不用想的太复杂，此时的答案显然就跟第一问的答案相同。
code
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,m,q;
int dep[N],f[N][25],dis[N],ans[N],col[N],fa[N];
int End[N<<1],Last[N],Next[N<<1];
int c[N];
struct Node
{
int dif,id,mark;
}temp;
vector<Node> query[N];
int read()
{
int x=0,f=1;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-48;s=getchar();}
return x*f;
}
int tot;
void add(int x,int y)
{
End[++tot]=y,Next[tot]=Last[x],Last[x]=tot;
}
void deal_first(int x,int fa)
{
dep[x]=dep[fa]+1;
for(int i=1;i<=20;i++)
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
for(int i=Last[x];i;i=Next[i])
{
int u=End[i];
if(u==fa) continue;
f[u][0]=x;
deal_first(u,x);
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
x=f[x][i];
if(x==y) return x;
if(dep[x]==dep[y]) break;
}
for(int i=20;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
void modify(int x,int d)
{
for(;x<=q;x+=x&-x)
c[x]+=d;
}
int ask(int x)
{
int res=0;
for(;x>=1;x-=x&-x)
res+=c[x];
return res;
}
void dfs(int x,int fa)
{
if(col[x])
modify(col[x],1);
for(int i=0;i<query[x].size();i++)
ans[query[x][i].id]+=ask(query[x][i].dif-1)*query[x][i].mark;
for(int i=Last[x];i;i=Next[i])
{
int u=End[i];
if(u==fa) continue;
dfs(u,x);
}
if(col[x])
modify(col[x],-1);
}
int main()
{
int cnt=0,Root;
n=read();
for(int i=1,u;i<=n;i++)
{
u=read();
fa[i]=u;
if(!u)
{
Root=i;
continue;
}
add(u,i);
add(i,u);
}
deal_first(Root,0);
q=read();
int x,y,c;
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int op=read();
if(op==1)
{
cnt++;
x=read(),y=read();
c=read();
temp.id=cnt;
temp.dif=i-c;
temp.mark=1;
query[x].push_back(temp);
query[y].push_back(temp);
temp.mark=-1;
int lca=LCA(x,y);
query[lca].push_back(temp);
query[fa[lca]].push_back(temp);
dis[cnt]=dep[x]+dep[y]-(dep[lca]<<1);
}
else col[read()]=i;
}
dfs(Root,0);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
printf("%d %d\n",dis[i]+1,ans[i]);
return 0;
}标签：洛谷,int,询问,dep,P4216,LCA,now,sum 来源： https://www.cnblogs.com/dingxingdi/p/15228750.html
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