标签：结论 frac 多项式 sum 给定 times 抄下来 记不住 vdots

1.多项式暴力操作

多项式求逆：给定\(F(x)\)，求\(G(x)\)使得\(G(x)F(x)=1\)

\[g_i=-\frac{1}{f_0}\sum_{j=0}^{i-1}g_j\times f_{i-j} \]

其中\(g_0=\frac{1}{f_0}\)。

多项式\(\ln\)：给定\(F(x)\)，保证\(f_0=1\)，求\(G(x)=\ln F(x)\)

\[g_i=f_i-\sum_{j=0}^{i-1}j\times g_j\times f_{i-j} \]

其中\(g_0=0\)。

多项式\(\exp\)：给定\(F(x)\)，保证\(f_0=0\)，求\(G(x)=\ e^{F(x)}\)

\[g_i=\frac{1}{i}\sum_{j=1}^i j\times f_j\times g_{i-j} \]

其中\(g_0=1\)。

2.范德蒙德行列式

\[\left |\begin{array}{cccc} 1 &1 & ... &1 \\ x_1 &x_2 &...&x_n \\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &...&x_n^{n-1} \\ \end{array}\right| \]

第一行可以视为\(x_1,x_2...x_n\)的\(0\)次幂，这样的行列式的值为

\[\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i) \]

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