标签：背包 int ch fa 细节 树形 maxn -- include
树形背包的细节问题
本博客用于说明树形背包的细节问题（非常重要）
一个下午就想了个这个
选课
很经典的题目，题解见[总结] 树形 dp。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=305,maxm=305;
int head[maxn],w[maxn],f[maxn][maxn],cnt = 0,n,m;
int sz[maxn];
struct Tree{
int to,nxt;
}e[maxm];
inline void link(int u,int v){
e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dp(int x){
sz[x]=1;
f[x][0]=0;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
dp(y);
sz[x]+=sz[y];
for(int t=min(sz[x],m);t>=0;t--){//选课门数（容量），倒序循环来正确处理体积为 0 的物品
for(int j=0;j<=min(t,sz[y]);j++){
f[x][j]+=f[y][0];
if(t-j>=0 && f[x][t-j]!=-1)
f[x][t]=max(f[x][t],f[y][j]+f[x][t-j]);
}
}
}
if(x!=0){
for(int t=m;t>0;t--)f[x][t]=f[x][t-1]+w[x];//最后必须覆盖掉 ，自己占一份体积
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(f,-1,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;i++){
int pre;
scanf("%d%d",&pre,w+i);
if(pre)link(pre,i);
else link(0,i);
}
dp(0);
printf("%d",f[0][m]);
return 0;
}
但是注意看这行代码：
f[x][j]+=f[y][0];
显然，\(f[y][0]=0\)，这样做是没有意义的。
但是我之前在做树形背包题的时候忽略了下面这个细节：
- 假设当前子树根节点为 \(u\) ，它的子节点分别为 \(v_1,v_2,v_3\cdots v_k\)。
- 当前处理完了 \(v_1,v_2\cdots v_{k-1}\) ，现在在处理 \(v_k\) 这个子树。
- 无论做哪种题的时候，都要对当前处理的 \(f[u][j]\) 状态进行合并
合并操作即将 \(u\) 与 \(v_1,v_2\cdots v_{k-1}\) 和 \(f[v_k][0]\) 进行信息合并再进行转移
当然对于选课这道题来说，这是多次一举的，我们看下一道。
树上染色
边权互换，在这里仅仅给出状态转移方程。
\(f[u][j]=min(f[u][j-k]+f[v][k]+value)\)
其中 \(value\) 表示 \((u,v)\) 这条边权值 \(w\) 对整体的贡献。
题解
其中有一篇题解中说：
这道题 \(k\) 前几篇题解必须正序枚举的原因并不是什么要用 \(j−k\) 更新答案，而是因为正序枚举 \(k\) 是从 \(0\) 开始的，而这道题的状态转移必须要先将 \(k=0\) 的状态转移过来才能成立。也就是说，这只是个巧合，\(j\) 的枚举要倒序没错，但 \(k\) 的枚举必须正序简直就是无稽之谈。要想避免这一情况，只需提前转移一下\(k=0\) 的情况即可。
所以 \(j\) 是倒序这是不可否定的，对于 \(k\) 的顺序应该没有限制才对。
分析
这道题属于不同于选课的“二类题”。
什么意思？就是必须要考虑 \(f[v][0]\) 的代价才可（即 \(v\) 这棵子树全是白点的情况，这是有代价的）
下面分析两种情况。
- 先进行合并（信息的加和），再按照状态转移方程进行转移取 \(max\)
- 先进行转移，再进行合并。
这两种情况的结果显然是不同的。第二种情况会让数组被刷的很大（先取 \(max\) 再加和）。
所以这就是为什么倒序 \(k\) 不可做的原因。
所以要么处理一下 \(k=0\) 的情况，要么正序就好。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0;bool fl=false;
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')fl=true;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return fl?-x:x;
}
const int maxn = 2000 + 100;
int head[maxn],cnt=0;
struct edge{
int to,nxt,w;
}e[maxn<<1];
inline void link(int u,int v,int w){
e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;e[cnt].w=w;
}
inline LL Mx(LL x,LL y){
return x<y?y:x;
}
int n,m,sz[maxn];
LL f[maxn][maxn];
void dfs(int u,int fa){
sz[u]=1;
f[u][0]=f[u][1]=0;
for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt){
v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs(v,u);
sz[u]+=sz[v];
for(int j=min(sz[u],m);j>=0;j--)
for(int k=0;k<=min(sz[v],j);k++){
if(f[u][j-k]!=-1){
LL val=(LL)k*(m-k)*e[i].w+(LL)(sz[v]-k)*(n-m-sz[v]+k)*e[i].w;
f[u][j]=Mx(f[u][j],f[v][k]+f[u][j-k]+val);
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n<2*m)m=n-m;
memset(f,-1,sizeof f);
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v,w;
u=read();v=read();w=read();
link(u,v,w);link(v,u,w);
}
dfs(1,0);
printf("%lld\n",f[1][m]);
return 0;
}
[IOI2005]Riv 河流
很自然的想到 \(f[u][j]\) 的状态表示，但是发现无法转移。
因此加一维 \(f[u][j][fa]\) ，表示离 \(u\) 最近的父亲。
由于 \(n\leq 100\)，直接记录即可，同时记下每个点是否建设伐木场。
看下面这一行代码：
f[u][fa][k][0]+=f[v][fa][0][0];
f[u][fa][k][1]+=f[v][u][0][0];
这就是上面所说的初始化（信息合并）。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
template <typename T>
inline T read(){
T x=0;char ch=getchar();bool fl=false;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')fl=true;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
}
return fl?-x:x;
}
const int maxn = 110 + 10;
int head[maxn],cnt=0;
struct edge{
int to,nxt,w;
}e[maxn<<1];
inline void link(int u,int v,int w){
e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;e[cnt].w=w;
}
int n,K,val[maxn];
int f[maxn][maxn][52][2],de[maxn];//当前节点，祖先，背包容量
int stk[maxn],top=0;
void dfs(int u,int fa){
stk[++top]=u;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
de[v]=de[u]+e[i].w;
dfs(v,u);
for(int j=1;j<=top;j++){
int fa=stk[j];
for(int k=K;k>=0;k--){//前面都是状态，顺序无影响
f[u][fa][k][0]+=f[v][fa][0][0];
f[u][fa][k][1]+=f[v][u][0][0];
for(int o=0;o<=k;o++){
f[u][fa][k][0]=min(f[u][fa][k][0],f[u][fa][k-o][0]+f[v][fa][o][0]);
f[u][fa][k][1]=min(f[u][fa][k][1],f[u][fa][k-o][1]+f[v][u][o][0]);
}
}
}
}
for(int i=1;i<=top;i++){
int fa=stk[i];
for(int j=K;j>=0;j--){
if(j>=1)f[u][fa][j][0]=min(f[u][fa][j][0]+val[u]*(de[u]-de[fa]),f[u][fa][j-1][1]);
else f[u][fa][j][0]+=val[u]*(de[u]-de[fa]);
//cerr<<f[u][fa][j][0]<<endl;//
}
}
--top;
}
#define read() read<int>()
int main(){
n=read();K=read();
for(int i=1,fa,w;i<=n;i++){
val[i]=read();fa=read();w=read();
link(fa,i,w);link(i,fa,w);
}
dfs(0,-1);
//for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<de[i]<<endl;//
printf("%d\n",f[0][0][K][0]);
return 0;
}
标签：背包,int,ch,fa,细节,树形,maxn,--,include 来源： https://www.cnblogs.com/Liang-sheng/p/15133821.html
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