标签：势能 时刻 frac 物体 FEM 引擎 Delta partial 解析

FEM 把物体分为多个基本图元，如四面体。
我们可以用四面体的顶点集合来表示这个物体。

---

1. FEM物理引擎工作流

Loop:
通过受力更新顶点速度
碰撞检测<先导顶点位置更新>
顶点位置更新

---

2. 顶点位置更新

为了达到更好的效果使用后向欧拉法，
x表示位置，t表示时间，可以导出两个公式：

下时刻位置=这时刻位置+这时刻到下时刻的速度*时间差；
这时刻到下时刻的速度=这时刻速度+物体下时刻位置对应受力/质量*时间差
（比较准确的速度表示方法是向后差分）

对应数学表达

\[x_{t+1} = x_t + v_{t+1}\Delta t \\ v_{t+1} = v_t + \frac{f(x_{t+1})}{M}\Delta t \]

消去x_{t+1}

\[v_{t+1} = v_t + \frac{f(x_t + v_{t+1}\Delta t)}{M}\Delta t \]

我们在x_t点泰勒展开一阶来近似

\[v_{t+1} = v_t + (f(x_t) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_t) + v_{t+1}\Delta t) \frac{\Delta t}M \]

化简得

\[(1 - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_t) \Delta t^2}M)v_{t+1} = v_t + \frac{f(x_t)}M\Delta t \]

这里只要求一个自变量v_{t+1}，使用迭代法求解

---

3. 处理物体图元间的内力

一个四面体有四个顶点，可以看做一个 4 * 3 的矩阵 X
现在我们可以通过一个 3 * 3 的变形矩阵 R 以及平移向量 b 映射，得到变形后的四面体

\[X_{old} R + b = X_{new} \]

变形的内力指向形变减少的方向，可以通过偏导计算变形位移，并用胡克定律计算
但是这里并不直接计算内力，而是用一个势能场来计算势能 E，以更好地泛化问题。

\[E = \psi(\frac{\partial X_{new}}{\partial X_{old}}) = \psi(GR^T) \]

上面的 G 表示一个形状与 X 一样的全为 1 的矩阵
这里可以获得整个物体的内力势能，即所有四面体的势能之和:

\[U = \sum_i E_i \]

由于内力会作用在整个物体势能减小的方向，
因此，物体全局势能 U 对每一个顶点的负梯度就等效于该点的受力

\[f_i = - \frac{\partial U}{\partial x_i} \]

有限元模型就是在探讨如何选择势能场的问题，常用的比如:

• 超弹性材料 Neo-Hookean 应用于橡胶、生物组织:

\[F = GR^T \\ J = \frac{V_{new}}{V_{old}} = |R| \\ \psi(F) = \frac{\mu}{2}\sum_i[(F^TF)_{ii}-1] - \mu log(J) + \frac{\lambda}2 log^2(J) \]

• 小形变 Corotated 应用于金属、类刚体等:

\[\psi(F) = \mu \sum_i[(\sigma_i-1)^2] + \frac{\lambda}2(J-1)^2 \]

这里需要一个自动微分求解库来完成操作，可以使用Torch，
加法后面惩罚图元体积的变化，以接近现实情况
再根据重力、接触力等即可模拟物体运动

标签：势能,时刻,frac,物体,FEM,引擎,Delta,partial,解析
来源： https://www.cnblogs.com/xytpai/p/15115770.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。