标签：AGC013E Marix 隔板 int Placing ++ ans date Squares
难度
思维难度 : 四星半
代码难度 : 一星
标签
\(dp\) + 矩阵乘法 + 组合意义 + 计数
题解
考虑组合意义，就是一个有 \(n\) 个格子，\(n + 1\) 个间隔，每个间隔可以放隔板，把格子分成一些部分。每个格子都可以放 \(1-2\) 个球，红球或蓝球，最后要求每个部分都有且仅有一个红球和一个蓝球。其中有一些间隔不能放隔板。求方案数。
对于一种放隔板的方案，放球的方案数显然是 \(\prod_{i=1}^{k}a_i^2\) ，不同的放隔板的方案显然和放正方形的方案一一对应。
所有放隔板和放球的总方案数就是原题所有合法方案的贡献之和。
那么考虑新问题如何计数。如果不是关键点的话,可以推出转移 \(A\)：
\[f[i][j] 表示dp到第 i 个格子,当前部分有 j 个球\\ f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][2] (放隔板或不放隔板)\\ f[i][1] = 2f[i-1][0] + f[i-1][1] + 2f[i-1][2] (放一个球，放另一个球，放隔板后放一个球)\\ f[i][2] = f[i-1][0] + f[i-1][1] + 2f[i-1][2] (放两个球，放另一个球，放隔板后放两个球或什么都不放)\\ \]可以直接矩阵快速幂.
是关键点的话容易推出另一种转移 \(B\).
如果当前 \(dp\) 到的位置是关键点，乘上转移矩阵 \(B\) ，否则乘上转移矩阵 \(A\) 。
因为关键点的个数 \(\leq 10^5\) ， 所以关键点之间的部分可以矩阵快速幂优化.
Code:
#include <iostream>
#include <vector>
#define int long long
using namespace std;
const int M = 2e5 + 10, mod = 1e9 + 7;
struct Marix {
int date[3][3];
Marix() {}
Marix (int v) {
for (int i = 0; i < 3; ++i) for (int j = 0; j < 3; ++j) date[i][j] = 0;
for (int i = 0; i < 3; ++i) date[i][i] = v;
}
int * operator [] (int i) {
return date[i];
}
Marix operator * (const Marix b) {
Marix c(0);
for (int i = 0; i < 3; ++i) {
for (int j = 0; j < 3; ++j) {
for (int k = 0; k < 3; ++k) {
(c.date[i][j] += date[i][k] * b.date[k][j] % mod) %= mod;
}
}
}
return c;
}
};
Marix qpow(Marix a, int b) {
Marix res(1);
while (b) {
if (b & 1) res = res * a;
a = a * a;
b >>= 1;
}
return res;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cout.tie(NULL);
cin.tie(NULL);
Marix a, b, ans(1);
a[0][0] = 1, a[0][1] = 2, a[0][2] = 1;
a[1][0] = 0, a[1][1] = 1, a[1][2] = 1;
a[2][0] = 1, a[2][1] = 2, a[2][2] = 2;
b[0][0] = 1, b[0][1] = 2, b[0][2] = 1;
b[1][0] = 0, b[1][1] = 1, b[1][2] = 1;
b[2][0] = 0, b[2][1] = 0, b[2][2] = 1;
int n, m;
vector<int> mark;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x;
cin >> x;
mark.push_back(x);
}
int last = -1;
for (auto it : mark) {
int po = it - last - 1;
last = it;
ans = ans * qpow(a, po) * b;
}
ans = ans * qpow(a, n - last - 1);
cout << ans[0][2] << endl;
return 0;
}
总结
对于一些比较难计数的计数题, 可以考虑它的组合意义，一般都会转化为放球问题, 这时候就可以用比较简单的 \(dp\) , 或熟悉的计数套路解决.
标签：AGC013E,Marix,隔板,int,Placing,++,ans,date,Squares 来源： https://www.cnblogs.com/youwike/p/15097227.html
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