标签：cnt 01 洛谷 int 题解 ++ 1441 dp
这是一道状压 DP 题，我厚颜无耻地看过题解发现其中有些卡常技巧惊为天人，于是我把它总结、记录了一下。当然，不敢发出去审核。。。
思路
题目要求从 \(n\) 个砝码里面去掉 \(m\) 个，那很自然的朴素想法是一个DFS跑过去，然后筛选出一种合法的方案，再套一个01背包统计一下答案即可
然后分析一下复杂度，达到了
\[T(n) = 2^n \times (n \sum{a_i} + 3n) \rightarrow \Theta(2^n \cdot n \sum{a_i}) \]其中第一项是枚举子集的复杂度，之后是01背包方案数 + 扫一遍 + 清零 + 求出背包容量t的复杂度。
这里参考了 @皎月半洒花 的题解
然后这会 \(\texttt{T}\) 掉。
想着怎么优化。
优化 DFS
把前面提到的筛选合法的方案看成一个01串，去掉的用 0，留下来的用 1，然后直接 for 循环枚举，这样可以卡掉 DFS 递归的常数。
这里的循环从 \(2^{n - m - 1}\) 开始（因为小于 \(n - m\) 个位数根本没有 \(n - m\) 个 \(1\)），到\(2^n - 1\)结束。
然后判断合法性要用到 popcount() 函数，即统计一个数二进制表示下 1 的个数。
这个函数是 gcc 的内置函数，函数名为 __builtin_popcount()。但CCF禁止使用下划线开头的函数，所以我们自己编一个。
这里我看到了一个效率很高的版本，是在 @pantw 的题解 中展示的。他不用一个一个枚举位数，而是通过 分块 + 打表 的方式，每 \(4\) 位为一组进行统计。
const int tb[16] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4};
IL int popcnt(ll x) {
int cnt = 0;
for (; x; x >>= 4) cnt += tb[x & 15];
return cnt;
}
其中 tb 数组存的是 \(0 \sim 15\) 二进制位上 \(1\) 的个数。
优化 01背包
嗯，先说说正常的 01背包 该怎么写。
这里参考了 @hsfzLZH1 的题解。
memset(f, 0, sizeof f);
f[0] = true;
ans = 0;
tot = 0; // 清零，因为可能要调用多次
for (int i = 0; i < n; i++) // 从前到后选取所有的砝码
{
if (tf[i]) continue; // 如果被标记为已经舍弃就跳过
for (int j = tot; j >= 0; j--)
if (f[j] && !f[j + a[i]])
f[j + a[i]] = true, ans++; // 否则dp并且维护ans的值
tot += a[i]; // 这个tot意为当前f[i]为真值的最大的i，极大加快了dp过程
}
ret = max(ans, ret); // 更新最后的答案
然后咱们想，能不能也用 01串 表示 DP状态 呢？
于是咱们产生了想法。。。
这里参考了 @皎月半洒花 的题解
bitset<2021> dp;
dp.reset(), dp[0] = 1, t = 0 ;
for (j = 0 ; j < N ; ++ j) t += (1 << j & i) ? base[j + 1] : 0 ;
for (k = 0 ; k < N ; ++ k)
for (j = t ; j >= base[k + 1] ; -- j)
dp[j] = (1 << k & i) ? dp[j] : (dp[j] | dp[j - base[k + 1]]) ;
Ans = max(Ans, (int)dp.count() - 1) ;
哦，对了， 这个最终的 \(-1\) 是把称出了 \(0\) 的重量扣掉。
还不够？
确实。
你看这个 DP 是怎么转移的。由于 dp 是一个 bitset，在里层的 for 循环以后，从动态上看，这个bitset 所有的 1 都被移动了 base[k + 1] 位（注：这位老哥从1开始读入）。
因此，我们实际上是可以用位运算压掉这一维！！！
我们写出了如下代码：
这里参考了 @pantw 的题解
bitset<2021> S(1);
for (int j = 0; j < n; j++)
if (i & (1 << j)) S |= S << a[j];
int siz = S.count();
ans = max(ans, siz);
于是我们愉快的通过了这道题。。。
完整代码
这是我自己写的
对着题解打的
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
#define IL inline
template <class I>
IL void read(I &x) {
int fl = 1;
x = 0;
char c = getchar();
while (!isdigit(c)) {
if (c == '-') fl = -1;
c = getchar();
}
while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
x *= fl;
}
int a[100];
const int tb[16] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4};
IL int popcnt(ll x) {
int cnt = 0;
for (; x; x >>= 4) cnt += tb[x & 15];
return cnt;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
clock_t c1 = clock();
freopen("in.in", "r", stdin);
freopen("out.out", "w", stdout);
#endif
#ifdef ONLINE_JUDGE
#endif
int n, m, d, ans = 0;
read(n), read(m), d = n - m;
for (int i = 0; i < n; i++) read(a[i]);
for (int i = 1 << (d - 1), ln = 1 << n; i < ln; i++)
if (popcnt(i) == d) {
bitset<2021> S(1);
for (int j = 0; j < n; j++)
if (i & (1 << j)) S |= S << a[j];
int siz = S.count();
ans = max(ans, siz);
}
printf("%d\n", ans - 1);
#ifdef LOCAL
cout << "\nTime used: " << clock() - c1 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
标签：cnt,01,洛谷,int,题解,++,1441,dp 来源： https://www.cnblogs.com/reqwey/p/solution-luogu-1141.html
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