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HH去散步

2021-07-28 23:34:35 阅读：290 来源： 互联网

标签：int LL 矩阵散步次方 HH MAXM 条边

题目link：https://www.luogu.com.cn/problem/P2151

Part0：

注意题目有重边。

Part1：

首先这道题的题目限制为走过一条边不能按原边返回，这就导致了这个图的有向性，从而得出需要拆边的结论。

Part2：

拆完边后，容易看出如果要想满足题目限制，那么相当于走过第 $i$ 条边后，除了 $i$ 的反向边都可以走。

Part3：

得到上述特性后，再来观察题目，发现数据范围里的 $m$ 的值比较小，且比较的特殊，但是注意，因为通过 Part1 和 Part2 已经拆完边了，那么边的数量需要 $*$ $2$ 。

众所周知，这道题要求的路径方案数和邻接矩阵的幂次方有很大的关系，再加上 $2$ $*$ $m$ $=$ $120$ 这个值，发现 $120^3$ $*$ $log$ $t$ （矩阵快速幂的复杂度为 $O($$n^3$ $log$ $k$$)$）约为 $5e7$ ，不会超时，因此考虑用 $2$ $*$ $m$ 为行列的大小建一个矩阵。

Part4：

建完矩阵后，容易发现矩阵中的元素的一种恰当且显然的意义为如果第 $i$ 条边的终点是第 $j$ 条边的起点 $\&\&$ 第 $i$ 条边和第 $j$ 条边不是反向边，那么矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素就是 $1$ ，否则为 $0$ 。

Part5：

考虑矩形的 $k$ 次方是什么含义，设 $k$ 次方之后的矩形为 $A$ ，那么容易得出 $A_{i, j}$ 是在图上第 $i$ 条边经过 $k$ $+$ $1$ 条边到达第 $j$ 条边（包括第 $i$ 条边和第 $j$ 条边）的方案数。

Part6：

这样，便容易得出求答案的方法为：在建完矩阵后用矩阵快速幂求出它的 $t$ $-$ $1$ 次方（注意不是 $t$ 次方），枚举起点 $a$ 的所有出边和终点 $b$ 的所有入边，累加计算一下就好了。

Code：

  1 #include <cstdio>
  2 
  3 typedef long long LL;
  4 
  5 const int MAXM = 60;
  6 const LL MOD = 45989;
  7 
  8 int n, m, t, a, b;
  9 int outA[MAXM + 5], inB[MAXM + 5], cntA, cntB, cntEdge;
 10 
 11 struct Node {
 12     int st, to;
 13 };
 14 
 15 struct Mat {
 16 
 17     int N;
 18     LL arr[2 * MAXM + 5][2 * MAXM + 5];
 19 
 20     Mat() {}
 21     Mat(int _N, LL val = 0ll) {
 22         N = _N;
 23         for(int i = 1; i <= N; ++i) {
 24             for(int j = 1; j <= N; ++j) {
 25                 arr[i][j] = (i == j) ? val : 0ll;
 26             }
 27         }
 28     }
 29 
 30     // void print() {
 31     //     for(int i = 1; i <= N; ++i) {
 32     //         for(int j = 1; j <= N; ++j) {
 33     //             printf("%d%c", arr[i][j], (j == N - 1) ? '\n' : ' ');
 34     //         }
 35     //     }
 36     //     puts("");
 37     // }
 38 
 39 };
 40 
 41 Mat operator* (const Mat &A, const Mat &B) {
 42 
 43     Mat res(A.N);
 44 
 45     for(int i = 1; i <= res.N; ++i) {
 46         for(int j = 1; j <= res.N; ++j) {
 47             for(int k = 1; k <= res.N; ++k) {
 48                 res.arr[i][j] += A.arr[i][k] * B.arr[k][j];
 49                 res.arr[i][j] %= MOD;
 50             }
 51         }
 52     }
 53 
 54     return res;
 55 }
 56 
 57 Mat qpow(Mat A, int k) {
 58 
 59     Mat res(A.N, 1ll);
 60 
 61     for(; k; k >>= 1) {
 62         if(k & 1) res = res * A;
 63         A = A * A;
 64     }
 65 
 66     return res;
 67 }
 68 
 69 int main() {
 70 
 71     scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &t, &a, &b);
 72 
 73     Node edge[2 * MAXM + 5]; // 存边
 74     for(int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
 75         scanf("%d %d", &x, &y);
 76         edge[++cntEdge].st = x, edge[cntEdge].to = y;
 77         edge[++cntEdge].st = y, edge[cntEdge].to = x;
 78         if(x == a || y == a) { // 记录起点和终点的出边和入边
 79             outA[++cntA] = (x == a) ? cntEdge - 1 : cntEdge;
 80         }
 81         if(x == b || y == b) {
 82             inB[++cntB] = (x == b) ? cntEdge : cntEdge - 1;
 83         }
 84     }
 85 
 86     Mat fac(2 * m); // 建矩阵
 87     for(int i = 1; i <= cntEdge; ++i) {
 88         for(int j = 1; j <= cntEdge; ++j) {
 89             if(i == j || ((i & 1) && (j == i + 1)) || ((!(i & 1)) && (j == i - 1))) continue;
 90             if(edge[i].to == edge[j].st) {
 91                 fac.arr[i][j] = 1ll;
 92             }
 93         }
 94     }
 95     
 96     fac = qpow(fac, t - 1); // 矩阵快速幂
 97 
 98     LL ans = 0; // 枚举出入边求解
 99     for(int i = 1; i <= cntA; ++i) {
100         for(int j = 1; j <= cntB; ++j) {
101             ans += fac.arr[outA[i]][inB[j]];
102             ans %= MOD;
103         }
104     }
105 
106     printf("%lld\n", ans);
107 
108     return 0;
109 }

标签：int,LL,矩阵,散步,次方,HH,MAXM,条边
来源： https://www.cnblogs.com/qqq1112/p/15072355.html

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