标签：结点 head int 树形 cnt edge 动态 规划 dp
算法简介
树形动态规划，亦称树形 \(dp\)，指在一个树形结构上进行的动态规划。通常题目会给出一棵多叉树或若干条链，要求选出某些结点，使得它们之间满足某种最优解性质。
这种动态规划最大的特点便是 采用递归函数实现，类似于记忆化搜索的形式，既可以像记忆化搜索一样，令 dfs 函数返回某个特定的值；也可以用一个数组来保存动态规划的值，然后在上一层递归函数里调用。
树形 \(dp\) 的思想大致可以描述为一个状态：\(dp_{i, j, k}\)，意为在结点 \(i\) 的子树内选出 \(j\) 个结点，且：
-
若 \(k = 0\)，则 \(dp_{i, j, k}\) 表示不选中结点 \(i\) 的最优解
-
若 \(k = 1\)，则 \(dp_{i, j, k}\) 表示选中结点 \(i\) 的最优解
如果是 树上背包 问题，状态则要相应地变更为：\(dp_{i, j}\) 表示从 \(i\) 的子树内选出 \(j\) 个结点的最优解。大多数模板题都可以通过这两个状态或其变式来解决。
例题选讲
树的最大独立集
给出一棵树，要求从树中选出若干个 不相邻 的结点，使得其满足所有选出结点的点权之和最大。
这种类型的问题可以用第一类状态来解决：设 \(dp_{i, 0}\) 表示从 \(i\) 的子树最大独立集点权之和，且该最大独立集不包含结点 \(i\)；\(dp_{i, 1}\) 同样表示 \(i\) 的子树最大独立集点权之和，但是该最大独立集包含结点 \(i\)。
显然，如果不选中结点 \(i\)，则 \(i\) 的所有儿子的最大独立集一定会被选中，故而 \(dp_{i, 0} = \sum\limits max\{dp_{j, 0}, dp_{j, 1}\}, (u, v) \in E\)；若选中结点 \(i\)，则 \(i\) 的所有儿子一定不能被选中，所以 \(dp_{i, 1} = \sum\limits dp_{j, 0} + w_i\)。
筛选出唯一的根节点 \(r\)，则最终答案为 \(max\{ dp_{r, 0}, dp_{r, 1} \}\)。
参考代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 6005
#define maxm 12005
#define inf 0x3f3f3f3f
struct node
{
int to, nxt;
} edge[maxm];
int n, cnt;
int head[maxn], r[maxn], dp[maxn];
void add_edge(int u, int v)
{
cnt++;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
int dfs(int u, int fa)
{
int sum1 = 0, sum2 = 0;
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
{
if (edge[i].to != fa)
{
sum1 += dfs(edge[i].to, u);
sum2 += dp[edge[i].to];
}
}
dp[u] = max(sum1 + r[u], sum2);
return sum2;
}
int main()
{
int u, v, ans = -inf;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &r[i]);
for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
add_edge(u, v);
add_edge(v, u);
}
dfs(1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans = max(ans, dp[i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
树上背包
给出若干条链，假如要选中结点 \(i\)，则必须先选中结点 \(i\) 的前驱结点 \(p\)。试选出 \(m\) 个结点，使得这 \(m\) 个结点的点权总和最大。
因为这个图可能不连通，所以我们得想办法把这个图 转化成一棵树。可以使用 虚拟结点 的起脚，虚拟出一个结点 \(0\)，这个结点是所有没有真实前驱结点的结点的前驱结点。这样，这个不连通图就被转化成了一棵树。
现在，直接按照树上 \(01\) 背包的状态转移方程求解即可。枚举 \(i\) 的子树内选的结点个数 \(j\) 和 \(i\) 的子结点 \(v\) 的子树内选的结点个数 \(k\)。若 \(1 \leq k < j \leq size_i\)，则 \(dp_{i, j} = max\{ dp_{i, j}, dp_{i, j - k} + dp_{v, k} \}\)。特殊地，因为选中一个结点必须要选中其前驱结点，而假如只能选一个结点，则其子树内其他结点都不能选（若选中该结点，则没选中其前驱结点），所以只能选中该结点 \(i\) 本身，即边界条件为 \(dp_{i, 1} = w_i\)。
注意，因为虚拟了一个结点 \(0\)，所以必须要多选中一个虚拟结点 \(0\)，也就是求解使用的 \(m\) 比数据输入的 \(m\) 要大 \(1\)。
参考代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 305
#define maxm 305
struct node
{
int to, nxt;
} edge[maxm];
int n, m, cnt;
int head[maxn], w[maxn], dp[maxn][maxn];
void add_edge(int u, int v)
{
cnt++;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
void dfs(int u)
{
dp[u][1] = w[u];
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
{
dfs(edge[i].to);
for (int j = m; j; j--)
for (int k = j - 1; k; k--)
dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[edge[i].to][k]);
}
}
int main()
{
int k;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d%d", &k, &w[i]);
add_edge(k, i);
}
m++;
dfs(0);
printf("%d\n", dp[0][m]);
return 0;
}
树的直径
概念
树的直径，指树上最长的简单路径。
简单路径指不重复经过同一个点的路径。
算法
在树上任意找到一个点u，找到距离u最远的顶点x，再找到距离x最远的顶点y。x与y之间的简单路径即为树的直径。
具体实现可以使用\(dfs\)。
模板
#include <cstdio>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define maxm 200005
struct node {
int to, nxt;
}edge[maxm];
int n, cnt;
int maxlen, point;
int head[maxn];
void add_edge(int u, int v) {
cnt++;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
void dfs(int u, int pre, int step) {
if (step > maxlen) {
maxlen = step;
point = u;
}
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {
if (edge[i].to != pre) {
dfs(edge[i].to, u, step + 1);
}
}
}
int diameter() {
maxlen = -1;
dfs(1, 0, 0);
maxlen = -1;
dfs(point, 0, 0);
return maxlen;
}
int main() {
int u, v;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
add_edge(u, v);
add_edge(v, u);
}
printf("%d\n", diameter());
return 0;
}
变式
题目大意：给定一棵有\(n\)个节点的树，试求每个节点\(i\)到距离其最远的节点\(j\)的距离。
因为距离点\(i\)最远的节点一定是该树直径的端点，故而可以进行\(3\)次\(dfs\)：
-
求出该树直径的一个端点\(x\)。
-
更新\(x\)到节点\(i\)的距离，同时找出直径的另一端点\(j\)。
-
更新\(j\)到节点\(i\)的距离。
参考代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 10005
#define maxm 20005
struct node
{
int to, nxt, w;
}edge[maxm];
int n, cnt;
int maxlen, point;
int head[maxn], dis[maxn];
void add_edge(int u, int v, int w)
{
cnt++;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].w = w;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
void dfs(int u, int pre, int step)
{
if (step >= maxlen)
{
maxlen = step;
point = u;
}
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
{
if (edge[i].to != pre)
{
dis[edge[i].to] = max(dis[edge[i].to], step + edge[i].w);
dfs(edge[i].to, u, step + edge[i].w);
}
}
}
void diameter()
{
maxlen = -1;
dfs(1, 0, 0);
maxlen = -1;
dfs(point, 0, 0);
maxlen = -1;
dfs(point, 0, 0);
}
int main()
{
int u, v, w;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
add_edge(u, v, w);
add_edge(v, u, w);
}
diameter();
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", dis[i]);
printf("\n");
return 0;
}
树的重心
概念
树的重心，也叫做树的质心。整颗树以它的重心为根时，它的所有子树中最大的子树节点数最小，即删去重心后，生成的多棵树会尽量平均。
树上的所有结点到重心的距离之和一定是最短的。
算法
在树中任意选一个点u，规定以u为根的有根树统一称为树A。从u开始\(dfs\)，沿路统计出整棵树的所有子树和节点数最大的树A。此时，整棵树除树A外的部分也是无根树中u的一个子树。求出每个点的子树的最大节点数，再取最小值，即可得到树的重心。
一棵树最多只有两个重心。
模板
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 50005
#define maxm 100005
#define inf 0x3f3f3f3f
struct node
{
int to, nxt;
} edge[maxm];
int n, cnt, val = inf;
int head[maxn], f[maxn], size[maxn];
void add_edge(int u, int v)
{
cnt++;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
void dfs(int u, int fa)
{
size[u] = 1;
for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)
{
if (edge[i].to != fa)
{
dfs(edge[i].to, u);
size[u] += size[edge[i].to];
f[u] = max(f[u], size[edge[i].to]);
}
}
f[u] = max(f[u], n - size[u]);
val = min(val, f[u]);
}
int main()
{
int u, v;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
add_edge(u, v);
add_edge(v, u);
}
dfs(1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (f[i] == val)
printf("%d ", i);
puts("");
return 0;
}
标签：结点,head,int,树形,cnt,edge,动态,规划,dp 来源： https://www.cnblogs.com/Ling-Lover/p/shu-xing-dong-tai-gui-hua.html
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