本篇是 偏序序列变换规律分析 的续篇。
接下来，为进一步探索偏序序列连续变换的规律，引入堡垒子序列的概念：
偏序序列 U = (a) H [b]，其中 H 为纯值对子序列，若 H = S1S2...Sh，其中 Si （i=1,...,h）为纯值对子序列，且满足以下条件：
I. F(Γ(Si)) = F(Si) - 1, i=1,...,h；
II. left(S1) ≥ 1；
III. left(Si) ≥ 2, i≠1；
IV. right(Si) ≥ 2, i≠h；
V. right(Sh) ≥ 1。
则称 H 从左至右被划分成 h 个堡垒子序列（简称堡垒）S1、S2、...、Sh 。相应引入：
堡垒数函数 forts(U) = forts(H) = h，堡垒函数 fort(U,i) = Si, i=1,...,forts(U)，首堡垒函数 hfort(U) = S1，尾堡垒函数 tfort(U) = Sh。
再引入单次变换的跳变数函数 gap(U >> V) = F(U) - F(V) - 1，其中 V = Γ(U)。
由上述定义可知 gap(U >> V) = forts(U) - 1，gap(U) = gap(U >> V) + gap(V)，以及：
特性 12（跳变特性）：若有 n 个序列 U1、U2、...、Un，满足 Ui >> Ui+1，i=1,...,n-1，且 Un 为规范序列，并记 gi = gap(Ui >> Ui+1)，i=1,...,n-1。则有 gap(Uk) = Σgi:i=k,...,n-1，k=1,...,n-2。
为探讨如何将一个偏序序列划分成若干个堡垒的问题，先考察几个例子。
例 1：U = [1,1)[1,1)
U 由两个 E 值对组成，E 值对的左界和右界均为 1，因此 只有 h = 1 的划分法，即 U 整体作为一个堡垒。
易知，当 U 为任意双一序列时，它都是作为整体被划分为一个堡垒，即forts(U) = 1，且有 left(U) = right(U) = 1。
例 2：U = [1,2)[1,3)[1,5)
这里 U 整体是一个左一序列。尝试把 第一个值对 [1,2) 单独划分为堡垒 S1，此时必有 h > 1，left(S1) = 1，rights(S1) = 2，符合条件，但是S2 的第一个值对为 [1,3)，于是有 left(S2) = 1，这与条件III 不符，故不能把第一个值对单独划分为堡垒，依此类推，容易得出 U 必须作为整体被划分为一个堡垒。
当 U 为任意一个左一序列时，可以推知，它都是作为整体被划分为一个堡垒，即forts(U) = 1，且有 left(U) = 1，right(U) ≥ 1。
当 U 为任意一个右一序列时，类似地可以推知，它都是作为整体被划分为一个堡垒，即forts(U) = 1，且有 right(U) = 1，left(U) ≥ 1。
例 3：U = [1,2)[1,3)[1,5)[4,1)[1,1)
这里 U 是 LR 型序列，L = [1,2)[1,3)[1,5)，R = [4,1)[1,1)，left(L) = 1，right(L) = 5, left(R) = 4，right(R) = 1，易知 L 和 R 是 U 的两个堡垒，L 是左开右闭堡垒，R 是左闭右开堡垒。
例 4：U = [1,3)[2,4)[3,1)[2,1)[1,5)[1,3)[4,2)[3,1)
根据堡垒划分的定义，可以分解出以下几个堡垒：
S1 = [1,3)，S2 = [2,4)，S3 = [3,1)[2,1)[1,5)[1,3)，S4 = [4,2)，S5 = [3,1)
其中打头的 S1 为左一序列，是左开右闭堡垒；末尾的 S5 为右一序列，是左闭右开堡垒；中间的 S2、S3、S4 都是全封闭的堡垒（即左右界都大于 1，一次变换后不会发生左析出或右析出），S2 和 S4 都是 I 型值对，S3 是 RL 型序列。
从上述几个示例可知，参与构成堡垒的子序列有以下几种：
（1）左右界都等于 1 的左一或右一序列：称为全开放堡垒基，只能作为单一的全开放堡垒存在，即两边不能有邻接序列
（2）右界大于 1 的左一序列：称为左开放堡垒基，可作为单一的堡垒存在，也可作为最左侧的堡垒与其它堡垒并存
（3）左界大于 1 的右一序列：称为右开放堡垒基，可作为单一的堡垒存在，也可作为最右侧的堡垒与其它堡垒并存
（4）I 型值对：称为 I 型封闭堡垒基，简称 I 型堡垒基
（5）RL 型序列：称为 II 型封闭堡垒基，简称 II 型堡垒基
前三种堡垒基统称为开放堡垒基。I 型堡垒基和 II 型堡垒基统称为封闭堡垒基。一个封闭堡垒基可作为单一的堡垒存在，也可在任意位置作为堡垒与其它堡垒并存。
相应地，堡垒也可以按两端的界值的不同分为以下几类：
（1）左右界都为 1 的堡垒称作全开放堡垒
（2）左界为 1 右界大于 1 的堡垒称作左开放堡垒
（3）右界为 1 左界大于 1 的堡垒称作右开放堡垒
（4）左右界都大于 1 的堡垒称作封闭堡垒
上面几个例子都是一个堡垒基独立构成堡垒的情形，来看一个多个堡垒基构成一个堡垒的例子。
例 5：U = [1,3)[2,1)[5,1)[2,4)[3,1)[2,1)[1,5)[1,1)[1,3)[4,2)[1,1)[3,1)
这个例子是在例 4 的基础上加入了一些值对（如黄色标注部分）。
第一个堡垒依然是 S1 = [1,3)，因为其后的值对的左界大于 1；
继续寻找右界大于 1 的值对，为 [2,4)，且随后的值对的左界大于 1，于是 S2 = [2,1)[5,1)[2,4)，这个堡垒由一个右一序列 R（右开放堡垒基）和一个 I 型值对 W（I 型堡垒基）拼接而成，由前面的推论 gap(RW) = 0 可知 F(Γ(RW)) = F(RW) - 1，所以 S2 的确是满足定义要求的堡垒；
继续寻找右界大于 1 的值对，为 [1,5)，但是随后值对的左界为 1，继续寻找右界大于 1 的值对，为 [1,3)，且随后的值对 [4,2) 的左界大于 1，于是 S3 = [3,1)[2,1)[1,5)[1,1)[1,3)，这个堡垒由一个 II 型堡垒基构成；
[4,2) 的右界大于 1，但是随后的值对 [1,1) 左界为1，继续往右寻找，[3,1) 已经是最末尾的值对，因此 S4 = [4,2)[1,1)[3,1)，这个堡垒由一个 I 型堡垒基和一个全开放堡垒基拼接而成，由 [4,2)[1,1)[3,1) >> [3,1)[1,2)[3,1)[1] 知 F(Γ(S4)) = F(S4) - 1，所以 S4 的确是满足定义要求的堡垒。
从这个例子可以看出：
右开放堡垒基可以放到一个封闭堡垒的左侧，从而扩充成一个新的封闭堡垒，称为封闭堡垒的左侧扩充，如 [2,1)[5,1)[2,4)；同样左开放堡垒基可以放到一个封闭堡垒的右侧，从而扩充成一个新的封闭堡垒，称为封闭堡垒的右侧扩充，如 [2,4)[1,1)[1,5)；还可以从两侧同时扩充一个封闭堡垒，称为封闭堡垒的双侧扩充，如 [6,1)[2,1)[5,1)[2,4)[1,1)[1,5)[1,3)，由前面的推论 gap(RWL) = 0 可知 F(Γ(RWL)) = F(RWL) - 1，即扩充后的序列的确满足构成堡垒的条件 I。
而把一个全开放堡垒基放置在两个邻接的堡垒之间，则会连通成一个堡垒。如：[4,2)[1,1)[3,1) 以及 [4,2)[1,1)[3,1)[5,6)。
容易推知，为把 n 个堡垒连通成一个堡垒，只需在每两个相邻堡垒之间插入一个全开放堡垒基即可。
由序列两端的规范组不参与堡垒划分，有：
特性13（规范组不影响跳变数特性）：若 U = (a) V [b]，a ≥ 0，b ≥ 0，且 V 是纯值对序列。则有 gap(U) = gap(V)。
为方便起见，引入取纯函数 pure(U) = V，其中 V 是 U 去掉两端的规范组后的剩余序列。特性 13 即为：gap(U) = gap(pure(U))。
再引入左侧取纯函数 lpure(U) = V [b]，右侧取纯函数 rpure(U) = (a) V，U = (a) V [b]，a ≥ 0，b ≥ 0，且 V 是纯值对序列。
回顾特性 8：L = [1,qt)...[1,q2)[1,q1) 和 R = [p1,1)[p2,1)...[ps,1) 的拼接序列 LR 满足 gap(LR) = min{game(L), game(R)}。当接合位置的 q1 和 p1 都大于 1 ，即 right(L) > 1 且 left(R) > 1 时，LR 正好划分为两个堡垒，即左开放堡垒 L 和 右开放堡垒 R。
对于一个 LR 型序列，若 right(L) = 1 或 left(R) = 1，易知 L 与 R 的结合位置至少有一个 E 值对，这时称 LR 是连通的，否则称 LR 是不连通的。在堡垒划分时一个连通的 LR 型序列只能归属于同一个堡垒。
进一步来考察可生成偏序序列 V 的堡垒划分特性，由特性 13，只需考虑 V 是纯值对序列的情形。
易知 V 可分解为若干个左一序列和右一序列的交替拼接，因为 E 值对既可以归到左一序列又可以归到右一序列，为避免归类重叠，约定：若一个 E 值对没有左邻值对，则把这个 E 值对归到一个左一序列里；否则把这个 E 值对归到它的左邻值对所属的序列里。
一般地，V 可表示为：{R} {M} {L}
这里 {} 表示括起来的序列可以是 1 个，也可以是 0 个。但由于 V 是偏序序列，R、M、L 不能都为空序列。L 代表一个左一序列；R 代表一个右一序列，由上述的为了避免归类重叠而引入的约定法则可知 left(R) > 1；M 代表 k 个 LR 型序列从左至右拼接而成的序列，其形式为：
M = L1R1 L2R2 ... LkRk，k > 0，且 left(Ri) > 1, i=1,...,k。
具体而言，V 的一般形式可归结为 7 种，分别称为：L 型、R 型、RL 型、M 型、ML 型、RM 型和 RML 型序列。
L 型序列的示例：[1,1)[1,4)[1,3)、[1,1)、[1,3)[1,1)、[1,1)[1,1)、[1,1)[1,3)[1,1)。
R 型序列的示例：[5,1)[2,1)[6,1)、[3,1)[1,1)[1,1)。
RL 型序列的示例：[3,1)[1,1)[1,1)[1,3)[1,1)。
M 型序列的示例：[1,3)[4,1)[1,1)、[1,3)[1,2)[1,1)[4,1)[1,1)[1,5)[1,1)[1,3)[1,1)[8,1)[3,1)。
ML 型序列的示例：[1,3)[4,1)[1,1)[1,3)[1,2)[1,1)。
RM 型序列的示例：[3,1)[1,1)[1,3)[4,1)[1,1)。
RML 型序列的示例：[3,1)[1,1)[1,3)[4,1)[1,1)[1,4)[1,3)。
L 型、R 型、RL 型序列统称为泛 RL 型序列。
考察 M 型序列的堡垒划分。对 M = L1R1 L2R2 ... LkRk 从左至右划分为 t 个堡垒，记为 M = S1S2...St。
第一个堡垒 S1 的确定方法如下：
考察第一个 LR 型序列，若 L1R1 是不连通的，则有 S1 = L1，确定完成；否则，考察下一个 LR 型序列，即若 L2R2 是不连通的，则有 S1 = L1R1L2，确定完成；否则，考察下一个 LR 型序列，由 k 为有限数，总能确定 S1，如果 M 中每个 LR 型序列都是连通的，则 M = S1（即 t = 1）。
确定 S1 之后，M 中还有剩余的子序列没有被划分为堡垒，则继续用确定 S1 的方法依次去确定 S2、...、St。
如果 t > 1，易知只有 St 是以一个 R型序列结尾的，且有 St = RpLp+1Rp+1...Lk-1Rk-1LkRk，p ≤ k（当 p = k 时，有 St = Rk），而 Si = RdLd+1...Rq-1Lq，d ≥ 0，q > d，i ≠ t（当 d = 0 时，i = 1，且 R0 代表空序列，即有 S1 = L1R1L2R2...Lq-1Rq-1Lq，当 q = 1 时，有 S1 = L1）。
考察 M 的首堡垒 S1 = L1R1L2R2...Lq-1Rq-1Lq 的变换特性，其中的 q-1 个 LR 型序列都是连通的，由上述的 E 值对归属约定，可设 Li = L'iE, i=1,...,q-1，再设 Lq = [1,p1)...[1,ph)，于是
S1 = L'1ER1 L'2ER2 ... L'q-1ERq-1 Lq >> (1) L'1R1E L'2R2E ... L'q-1Rq-1E L'q
其中 L'q = [1,p1)...[1,ph-1)
从 S1 到 Γ(S1)，从效果上看，相当于每个连通的 LiRi 中 Li 末尾的 E 被移到了 Ri 的末尾（i=1,...,q-1），其余的部分则简化为 Lq >> (1) L'q。令 R'i = RiE, i=1,...,q-1，则 S1 >> Γ(S1) 可表达为
S1 = L1R1L2R2...Lq-1Rq-1Lq >> (1) L'1R'1L'2R'2...L'q-1R'q-1L'q
不过，变换后不能保证 Γ(S1) 依然是堡垒，因为不能每个 L'iR'i 依然都是连通的，事实上 Γ(S1) 最多可能划分出 q-1 个堡垒。
特性 14（可生成偏序序列变换特性）：若一个可生成偏序序列 V = RML，R 是右一序列，L 是左一序列，则 gap(V) = gap(M)。
证明：把 ML 看成一个整体，先来证明 gap(RML) = gap(ML)。
对 M = L1R1 L2R2 ... LkRk 沿用上述方法从左至右划分为 t 个堡垒，即 M = S1S2...St，于是
ML = S1 S2 ... StL，RML = RS1 S2 ... StL
易知 ML 和 RML 也都相应被划分为 t 个堡垒，且有
fort(ML,i) = Si, i=1,...,t-1，fort(ML,t) = StL
fort(RML,1) = RS1，fort(RML,i) = Si, i=2,...,t-1，fort(RML,t) = StL
即 RML 和 ML 除了首堡垒不同，其余堡垒都对应相同。
gap(ML >> Γ(ML)) = gap(RML >> Γ(RML)) = t-1
于是 gap(RML) = gap(ML) 等价于 gap(Γ(RML)) = gap(Γ(ML))
Γ(ML) = Γ(S1) Γ(S2) ... Γ(St-1)Γ(StL)
Γ(RML) = Γ(RS1) Γ(S2) ... Γ(St-1)Γ(StL)
以下分情形讨论：
1）若 t = 1，则 M 由 k 个连通的 LR 型序列组成，由上面分析，有
ML = L1R1...LkRkL >> (1) L'1R'1...L'kR'kL'
RML = RL1R1...LkRkL >> (d)R'EL'1R'1...L'kR'kL'
其中，Li = L'iE，R'i = RiE，(i=1,...,k)；且有 L >> (1)L' 以及 R >> (d)R'[1]（当 left(R) = 1 时，d = 1，否则 d = 0；特别地，当 R = E时，R' 为空序列）
记 X = lpure(Γ(ML))，即 X = L'1R'1...L'kR'kL'，易知 gap(Γ(ML)) = gap(X)
记 Y = Γ(RML)，若 X 被划分为 a 个堡垒：X1...Xa，则由 Y = R'EX 可知，Y 也一定被划分为 a 个堡垒：Y1...Ya，且有 Y1 = R'EX1，Yi = Xi, i=2,...,a
gap(X >> Γ(X)) = gap(Y >> Γ(Y)) = a-1
于是 gap(RML) = gap(ML) 等价于 gap(Γ(Y)) = gap(Γ(X))
若 a = 1，易知 Y 和 X 的堡垒划分关系和上面 t = 1 时 RML 和 ML 的堡垒划分关系是一样的，可以同上面一样往下推进；
若 a > 1，则有
X1 = L'1R'1...L'q-1R'q-1L'q，1 ≤ q ≤ k（当 q = 1 时，X1 = L'1）
Y1 = R'EX1 = R'EL'1R'1...L'q-1R'q-1L'q，1 ≤ q ≤ k（当 q = 1 时，X1 = L'1）
记 X' = Γ(X)，Y' = Γ(Y)，则
X' = Γ(X1)Γ(X2) ... Γ(Xa)
Y' = Γ(Y1)Γ(X2) ... Γ(Xa)
由 X1 是堡垒知，X1 中的 q-1 个 LR 型序列都是连通的，于是有
Γ(X1) = (1) L''1R''1...L''q-1R''q-1L''q，
Γ(Y1) = Γ(R'EX1) = Γ(R'E) Γ(X1) = (d)R''[1] Γ(X1)
= (d)R''EL''1R''1...L''q-1R''q-1L''q
其中，L'i = L''iE，R''i = R'iE，(i=1,...,q-1)；且有 L'q >> (1)L''q 以及 R'E >> (d)R''[1]（当 left(R'E) = 1 时，d = 1，否则 d = 0；特别地，当 R' 为空序列，R'' 也为空序列）
记 X'i = Γ(Xi)，Y'i = Γ(Yi)，i=1,...,a，易知：
X' = X'1 X'2 ... X'a，Y' = Y'1 X'2 ... X'a
即 X' 和 Y' 只在打头的序列 X'1 和 Y'1 上不同，且从上面可知，pure(Y'1) = R''E pure(X'1) ，从而有
pure(Y') = R''E pure(X')
于是，若 pure(X') 被划分为 b 个堡垒，则 pure(Y') 同样会被划分为 b 个堡垒，即有
gap(RML) = gap(ML) 等价于 gap(Y') = gap(X')，又等价于 gap(pure(Y')) = gap(pure(X'))，又等价于 gap(Γ(pure(Y'))) = gap(Γ(pure(X')))
再往下无论 b = 1 还是 b > 1都可以按上述相应的方法继续变换下去，并得到新的等价等式。但这个变换过程不会无限进行下去，因为 F(ML) 是有限制，而 ω(ML) ≤ F(ML)，同理 ω(RML) 也是有限值。
综上分析可知，从 ML 和 RML 开始，每经历一次变换后得到的两个新序列，它们的堡垒划分总具有上述的对等性。从而总有 gap(RML) = gap(ML) 成立。
2）若 t > 1，再往后只需沿用上面处理 a > 1 的情形采用的方法，同样可以得以进行下去，并得到新的等价等式。
综上，便有 gap(RML) = gap(ML) 成立。
需要指出的是 ω(ML) < ω(RML)，即 ML 比 RML 经历更少的变换次数成为规范序列，但依然有 gap(RML) = gap(ML) 成立，实际上当 ML 经若干次变换后成为泛 RL 型序列 RxLx 时，RML 也一定经同样次数的变换后成为泛 RL 型序列 RyLy，尽管 F(RyLy) > F(RxLx)，但总有 g(RyLy) = g(RxLx) = 0。
由此再去梳理上面的证明过程，会发现 “若 pure(X') 被划分为 b 个堡垒，则 pure(Y') 同样会被划分为 b 个堡垒” 是有缺陷的，即没有考虑到 b = 0 的情形。这里补充一下：
在经多次变换（不妨记为 c 次）后一定会出现 pure(X'.c.') 为空序列的情况（即 ML 经 c 次变换后成为规范序列），这时 b = 0，而 pure(Y'.c.') = R'.c.'E 会被划分为 1 个堡垒。此时 pure(Y'.c.') 是一个 R 型序列，满足 gap(pure(X'.c.')) = gap(pure(Y'.c.')) = 0。
以上证明了 gap(RML) = gap(ML)。类似地方法可以进一步证明 gap(ML) = gap(M)。
为具象化，考察一个具体例子：
R = [7,1)[1,1)[3,1)，M= [1,2)[1,5)[1,1)[4,1)[3,1) [1,5)[1,1)[4,1)[2,1)，L = [1,2)[1,1)[1,5)
ML = [1,2)[1,5)[1,1)[4,1)[3,1) [1,5)[1,1)[4,1)[2,1) [1,2)[1,1)[1,5) ① // forts = 1
>> (1) [1,2)[1,5)[4,1)[3,1)E [1,5)[4,1)[2,1)E [1,2)[1,1)[1,4) ② // forts = 3，gap(② >> ③) = 2
>> (2) [1,2)[1,4)[3,1)[3,1)E2 [1,4)[3,1)[2,1)E2 [1,2)[1,1)[1,3) ③ // forts = 3，gap(③ >> ④) = 2
>> (3) [1,2)[1,3)[2,1)[3,1)E3 [1,3)[2,1)[2,1)E3 [1,2)[1,1)[1,2) ④ // forts = 3，gap(④ >> ⑤) = 2
>> (4) [1,2)[1,2)[1,1)[3,1)E4 [1,2)[1,1)[2,1)E4 [1,2)[1,1)[1,1) ⑤ // forts = 1
>> (5) [1,2)[1,2)[3,1)E5 [1,2)[2,1)E5 [1,2)[1,1) [1] ⑥ // forts = 3，gap(⑥ >> ⑦) = 2
>> (6) [1,2)[1,1)[2,1)E6 [1,1)[1,1)E6 [1,2) [2] ⑦ // forts = 1
>> (7) [1,2)[2,1)E14 [1,1)[1,1) [2] ⑧ // forts = 2，gap(⑧ >> ⑨) = 1
>> (8) [1,1)[1,1)E14 [1,1)[1,1) [3] ⑨
由上述 ML 的连续变换过程可以看出，8 次变换后得到序列 ⑨ = (8) E18 [3]，pure(⑨) 是双一序列，之后的每次变换的跳变数都为 0，于是 gap(ML) = 2+2+2+2+1 = 9。
RML = [7,1)[1,1)[3,1)[1,2)[1,5)[1,1)[4,1)[3,1) [1,5)[1,1)[4,1)[2,1) [1,2)[1,1)[1,5) ①' // forts = 1
>> [6,1)E[3,1)E [1,2)[1,5)[4,1)[3,1)E [1,5)[4,1)[2,1)E [1,2)[1,1)[1,4) ②' // forts = 3，gap(②' >> ③') = 2
>> [5,1)E[3,1)E2 [1,2)[1,4)[3,1)[3,1)E2 [1,4)[3,1)[2,1)E2 [1,2)[1,1)[1,3) ③' // forts = 3，gap(③' >> ④') = 2
>> [4,1)E[3,1)E3 [1,2)[1,3)[2,1)[3,1)E3 [1,3)[2,1)[2,1)E3 [1,2)[1,1)[1,2) ④' // forts = 3，gap(④' >> ⑤') = 2
>> [3,1)E[3,1)E4 [1,2)[1,2)E[3,1)E4 [1,2)E[2,1)E4 [1,2)[1,1)[1,1) ⑤' // forts = 1
>> [2,1)E[3,1)E5 [1,2)[1,2)[3,1)E5 [1,2)[2,1)E5 [1,2)[1,1) [1] ⑥' // forts = 3，gap(⑥' >> ⑦') = 2
>> E2[3,1)E6 [1,2)[1,1)[2,1)E6 [1,1)[1,1)E6 [1,2) [2] ⑦' // forts = 1
>> (1) E[3,1)E7 [1,2)[2,1)E14 [1,1)[1,1) [2] ⑧' // forts = 2，gap(⑧' >> ⑨') = 1
>> (2) [3,1)E8 [1,1)[1,1)E14 [1,1)[1,1) [3] ⑨'
由上述 RML 的连续变换过程可以看出，8 次变换后得到序列 ⑨' = (2) [3,1)E26 [3]，pure(⑨') 是 R 型序列，之后的每次变换的跳变数都为 0，于是 gap(RML) = 2+2+2+2+1 = 9。
对比 RML 和 ML 的连续变换，可以直观地看到 R 及其每次变换的结果都只是一个右开放堡垒基，只有右侧为空序列时它才能构成唯一的堡垒，否则只能从左侧去加入一个堡垒。同样，对比 ML 和 M 的连续变换，也有类似结论。M 的连续变换过程这里不再详细展开了。
特性 15：R 是任意右一序列，L 是任意左一序列，U 是任意纯值对序列，则 gap(RUL) = gap(U)。
本特性是对特性 14 的扩展。
证明：若 U 中不含有 I 型值对，则由特性 14 知命题成立。因而只需考虑 U 中含有 I 型值对的情形。
易知 forts(RU) = forts(U)，即有
gap(RU >> Γ(RU)) = gap(U >> Γ(U)) ①
设 U >> (a) V [b]，a = 0,1，b = 0,1，V 为纯值对序列。
由特性 9 知 V 是可生成偏序序列。再设 R >> (c) R' [1]，c = 0,1。
若 a = 1，则有 RU >> (c) R'EV [b]
由特性 13 和 14，有
gap(Γ(U)) = gap(V) = gap(R'EV) = gap(Γ(RU))
结合 ① 便有 gap(RU) = gap(U)。
若 a = 0，则必有 left(U) > 1，可记 V = [p,1)V'，即有 RU >> (c) R' [p+1,1)V' [b]
由特性 13 和 14，有
gap(Γ(U)) = gap(V) = gap(V') = gap(R' [p+1,1)V') = gap(Γ(RU))
结合 ① 便有 gap(RU) = gap(U)。
综上，有 gap(RU) = gap(U)，由 U 的一般性有 gap(RUL) = gap(UL)。
用类似的方法可证明 gap(UL) = gap(U)。
以下证明特性 10：
任意改变纯值对序列 U 的左界或右界值，得到的序列 V 必然满足 gap(U) = gap(V)。
证明：若 U 只含有一个值对，即 U = [p,q)，由于 gap(U) = 0 可知结论显然成立。现假定 U = [p,q)X，X 为纯值对序列。记 M = [p+1,q)X，N = [1,q)X，来证明 gap(M) = gap(N)。
当 q = 1 时，由特性 15 显然有 gap(M) = gap(N) = gap(X)。
当 q > 1 时，M = [p+1,q)X >> [p,1)[1,q-1) Γ(X)，N = [1,q)X >> (1)[1,q-1)Γ(X)
对比 Γ(M) 和 Γ(N) 可知，gap(M >> Γ(M)) = gap(N >> Γ(N))；而由特性 15 又有
gap(Γ(M)) = gap([1,q-1)Γ(X)) = gap(Γ(N))，于是有 gap(M) = gap(N)。
综上证得：对任意的 纯值对序列 X 以及任意 p > 0，q > 0，总有 gap([p+1,q)X) = gap([1,q)X)。即任意改变纯值对序列 U 的左界值，得到的序列 V 必然满足 gap(U) = gap(V)。
同样的方法可以证明：任意改变纯值对序列 U 的右界值，得到的序列 V 必然满足 gap(U) = gap(V)。
标签：偏序,...,变换,ML,gap,堡垒,序列,RML 来源： https://www.cnblogs.com/readalps/p/14968482.html
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