标签：那么 20 个点 noip 19 概率 深度 转移 dp
这两场考试大部分的题都考过，然鹅有的 \(trick\) 忘了，有的当时咕了（虽然现在还咕着）
首先是 \(v\) 这道题需要加一个小优化，对于较小的状态应该直接用数组记录，较大的再用 map 记
然后就是这个神奇的 \(dp\) 题：
A. 玩具
考场上只会暴搜，胡了一个 hash 还给挂了
正解是神奇的 \(dp\)
首先核心是 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的树深度为 \(j\) 的概率，那么期望即概率乘深度之和
考虑这个怎么转移：
如果想办法从 \(f[i-1][k]\) 转移，可以发现这个状态是不完备的，因为不知道 \(i-1\) 个点深度为 \(k\) 时各个深度的点各有多少个，那么加在每个深度的概率是不相同的
那么考虑这棵树最后加入的点是树顶那个点
因为树顶那个点加入前整个的深度是固定的为 \(j-1\)
那么问题又来了，如果加入的是树顶，那么原来所有的子树将形成一个森林，显然还需要一个变量维护森林的状态
那么设 \(g[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的森林深度为 \(j\) 的概率，那么有
接着考虑 \(g\) 的转移，可以想到从一部点形成的树外加另外的点形成森林来转移
假设树的大小为 \(k\)，那么一部分是 \(f[i][k]\)，发现另一部分的深度是不确定的，只要小于等于 \(j\) 即可
说明状态设计的有问题，那么设计成深度小于等于 \(j\) 就好了
\(f\) 的转移还是一样的
然后再看 \(g\) 的转移，发现还是有 \(bug\)，因为总共有 \(j\) 个点，有 \(k\) 个点在第一棵树里，这是有概率的，那么继续打补丁——设 \(dp[i][j]\) 表示 \(i\) 个点的森林有 \(j\) 个点在第一棵树的概率
考虑转移，从 \(dp[i-1][]\) 转移而来，分为新加的点在不在第一棵树里两种情况，方程式为：
这里需要注意看似上一种情况共可以向 \(i-1\) 个点连边，为什么分母上是 \(i\) 呢？
因为漏掉了一种情况就是新加的这个点其实是可以自成一棵树的，所以没有问题
这回终于可以转移 \(g\) 了：
\[g[i][j]=\sum_{k=1}^{i} f[i][k]*g[i][i-k]*dp[i][k] \]最后是统计答案，由于状态设计的是前缀和形式，那么答案需要减一下，即：
\[\sum_{i=1}^{n} (f[n][i]-f[n][i-1])*i \]标签：那么,20,个点,noip,19,概率,深度,转移,dp 来源： https://www.cnblogs.com/yang-cx/p/15033408.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。