问题描述
给定nn个矩阵{A1,A2,A3,...,An}{A1,A2,A3,...,An}，其中AiAi为Pi−1×PiPi−1×Pi矩阵，i=1,...,ni=1,...,n，并且AiAi与Ai−1Ai−1是可乘的。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的链乘可有许多不同的计算次序，两个矩阵Ai×jAi×j与Aj×kAj×k相乘的工作量为i×j×ki×j×k次数乘。
给定向量P=<P0,P1,...,Pn>P=<P0,P1,...,Pn>为nn个矩阵的行数和列数，确定一种乘法次序，使得基本运算“数乘”的总次数最少。
完全加括号
完全加括号的矩阵链乘积可递归地定义为：
- 单个矩阵是完全加括号的
- 矩阵链乘积AA是完全加括号的，则AA可表示为两个完全加括号的矩阵链乘积BB和CC的乘积，并加括号，即A=(BC)A=(BC)
最优子结构
- 矩阵链乘AiAi+1...AjAiAi+1...Aj简记为Ai...j,i≤jAi...j,i≤j，于是矩阵链乘A1A2...AnA1A2...An可记为A1...nA1...n，完全加括号形式为A1...n=A1...kAk+1...n,1≤k<nA1...n=A1...kAk+1...n,1≤k<n
- 矩阵连乘A1...nA1...n的最优计算次序的计算量等于A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n两者的最优计算次序的计算量之和，再加上A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n相乘的计算量。矩阵链乘问题的最优解具有最优子结构特性。
最优解的递推关系
- 由ii和jj确定子问题的边界，输入P=<P0,P1,...Pn>P=<P0,P1,...Pn>
Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j−1Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j−1
- 确定优化函数和递推方程：二维数组mm用来保存矩阵链乘时所需的最小计算量
m[i][j]={mini≤k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi−1PkPj}0if i<jif i=jm[i][j]={mini≤k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi−1PkPj}if i<j0if i=j
- 设立标记函数：为了确定加括号的次序，设计表s[i,j]s[i,j]记录求得最优时，最后一次运算的位置，即m[i][j]m[i][j]达到最小时kk的划分。
算法描述（伪代码）
- 迭代实现 备忘录法
MatrixChain(P,n) 令所有m[i,j]的初值为0； for r <- 2 to n do for i <- 1 to n-r+1 do j <- i+r-1; m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j; s[i,j] = i; for k <- i+1 to j-1 do t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j; if t < m[i,j] then m[i,j] <- t; s[i,j] <- k;
结束语
醉后不知天在水，满船清梦压星河
作者：花城
标签：链乘,...,括号,Ai,矩阵,A1,备忘录,最优 来源： https://www.cnblogs.com/wl-blog/p/15000956.html
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