Part 1
一个网络流正在流动。
现在任意割断它,分成源点所在的S点集、汇点所在的T点集。
除了源点,其它点都没有实际输出,
除了汇点,其它点都没有实际获得,
所以,S到T的净输出 = 源点的输出 = 总流量。
所以,网络中任意一个割的净流 = 网络当前的总流量。
因为割的净流 <= 这个割的容量(显然),
所以网络总流量 = 此流量下任意一个割的净流 <= 这个割的容量,
所以任何一种网络流的总流量 <= 任意一个割(割的大小指的是割的容量)。
Part 2
如果一张网络它没有增广路了,
那么源点到汇点顺着“有残余容量的边”(残余网络)不能到达汇点。
现在,源点顺着残余网络能够到达的所有点,叫作点集S,
整张图其它点叫作点集T。
则S连向T的那些边没有残余容量。(否则,顺着此边流过去的点也是源点能到达的点,也属于点集S)
如果割掉这些边,
那么,此割的净流 = 此割的容量(因为没有残余容量)。
因为当前网络的流量 = 该流量下任意一个割的净流,
所以当前网络的流量 = 此割的容量。
因为任何一种网络流的流量 <= 任意一个割的容量,
所以,当前网络流就是上面一个不等式左右两边的交界,
即:任何一种网络流 <= 当前网络流 = 此割的容量 <= 任何一个割的容量。
所以这个网络流是网络最大流。而且此割是最小的一个割,最大流 = 最小割。
标签:净流,增广,定理,源点,网络,汇点,点集,单独,此割 来源: https://www.cnblogs.com/cicos/p/10283582.html
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