标签：24 lnx 示例 积分 笔记 公式 分部 高脚杯 解法

不是所有被积函数都能解析地写出原函数。对于那些可能写出来的函数，也需要一定的积分技巧才能随心所欲，分部积分正是其中很重要的一种技巧。

基本公式

　　部分积分演变自积分的乘法法则：

示例1

 

　　看起来很难对付，现在尝试用部分积分解决。

　　令u = lnx，u’ = (lnx)’ = x’/x = 1/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = 1

示例2

 

　　解法1：

　　令u = (lnx)²，u’ = 2lnx/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = 2lnx/x

 

　　解法2：

　　令u = lnx，u’ = (lnx)’ = x’/x = 1/x 

　　v’ = lnx，通过示例1得知，v = xlnx – x

　　u’v = lnx - 1

换算公式

　　换算公式使用递归的方式运用部分积分公式，最终得到结果。

 

　　这与前面的示例类似：

　　令u = (lnx)ⁿ，u’ = n(lnx)^n-1/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = n(lnx)^n-1, uv = x (lnx)ⁿ

 

　　再对后半部分反复使用分部积分，使lnx降次，直到其为0为止。如果用F_n(x)表示(lnx)ⁿ的积分，则：

 

　　根据该公式：

示例1

　　令u = xⁿ，u’ = nx^n-1

　　令v’ = e^x，v = e^x，u’v = nx^n-1e^x, uv = xⁿe^x

示例2

　　有如下图所示的高脚杯，其侧壁的曲线函数是y = e^x，开口宽度为2，手柄高度为1，求高脚杯的容积。

求高脚杯容积

　　首先将其转换为下图所示的数学模型，容积就是曲线绕y轴旋转一周的体积：

　　可以使用圆盘法和壳层法计算体积（可参考数学笔记17——定积分的应用2（体积））。

　　圆盘法：

　　壳层法：

 

综合示例

示例1

　　令u = x，u’ = 1

　　令v’ = e^-x，v = -e^-x，u’v = -e^-x，uv = -xe^-x

示例2

　　解法1：分部积分

 

　　解法2：部分分式

　　解法3：三角替换，令x = tanθ

 

　　注意到解法1和后两种方法的结果不同，但由于 和 的导数相同，所以二者是等同的。

　　也可以从另一个角度证明，现在回顾一下解法3：

 

　　如果替换为sinθd的函数，则： 

 

　　所以两个结果相等。

　　实际上两个函数是同族的：

 

示例3

 

　　u = arctanx, u’ = 1/(1 + x²), v’ = 1, v = x

　　下面是arctanx的求导过程：

　　y = arctanx, x = tany, 对x = tany两边同时对x求导：

　　关于反函数的求导，可参考数学笔记4——导数4（反函数的导数）。

示例4

 

　　u = lnx, u’ = 1/x, v’ = x^-2, v = -1/x。

 

示例5

 

标签：24,lnx,示例,积分,笔记,公式,分部,高脚杯,解法
来源： https://blog.51cto.com/u_15260715/2876887

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。