【课程·研】软件工程 | 结对编程：建造金字塔（1157）

2021-02-16 13:31:34 阅读：218 来源： 互联网

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本文主要内容：

1、实验要求

练习结对编程**(pair programming)**，体验敏捷开发中的两人合作；两人一组，自由组合；使用一台计算机，共同编码，完成实验要求；

在工作期间，两人的角色至少切换4次；使用VS2017和**C++**编程。

2、待求解问题描述与数学模型

时间限制:4000ms

单点时限:2000ms

内存限制:256MB

问题描述：

在二次元中，金字塔是一个底边在x轴上的等腰直角三角形。

你是二次元世界的一个建筑承包商。现在有N个建造订单，每个订单有一个收益w，即建造此金字塔可获得w的收益。对每个订单可以选择建造或不建造。

建造一个金字塔的成本是金字塔的面积，如果两个或多个金字塔有重叠面积，则建造这些金字塔时重叠部份仅需建造一次。

建造一组金字塔的总利润是收益总和扣除成本。现给出这些订单，请求出最大利润。

输入：

输入数据第一行为一个整数T，表示数据组数。

每组数据第一行为一个整数N，表示订单数目。

接下来N行，每行三个整数x, y, w，表示一个订单。(x, y)表示建造出的金字塔的顶点，w表示收益。

输出：

对于每组数据输出一行"Case #X: Y"，X表示数据编号（从1开始），Y表示最大利润，四舍五入到小数点后两位。

数据范围：

1 ≤ T ≤ 20
0 ≤ w ≤ 107

小数据

1 ≤ N ≤ 20
0 ≤ x, y ≤ 20

大数据

1 ≤ N ≤ 1000
0 ≤ x, y ≤ 1000

3、算法与数据结构设计

3.1 设计思路

通过对问题描述进行详细的分析，我们发现本题需要解决的关键问题是求解最大收益问题。本题的金字塔建造与否，是可选项，因为有可能发生收益小于成本的情况。同时，重叠的面积的成本，只需要计算一次，再次增加了题目的难度。不过，本题的最终输出结果，只有一个最大利润数值。

下面，我们结合这个题目，进行了解决方案的思考和设计。

暴力法解决问题

所谓暴力法，就是枚举所有可能发生的情况，并对这些情况逐一求解，然后取这些解的最大值。在本题中，使用暴力法枚举所有的金字塔的排列组合情况是可行的。然后对每一个组合都求解其利润，最后再遍历所有解，取最大值。如果有n座金字塔，那么排列组合情况就有种。如果n的数值成百上千时，排列组合的组数就会非常多，每一组内的求解，也需要计算成本、排除重复面积，这使得计算量非常大。所以采用暴力法，虽然有求解的可能性，但在实际的项目中，实现该方法并不切实际，而且容易造成算法的遗漏或者冗余。

换个角度考虑该题

我们又对该题进行进一步的分析，发现每个金字塔的建造与否，取决于两个因素。第一是金字塔的面积（成本）与收益之间的关系，第二是当前金字塔与其他金字塔重叠面积之间的关系。第一个因素虽然看起来对金字塔建造与否起到决定性因素（或者理解为收益小于成本时，就放弃该金字塔的建造），但这是错误的。因为即使单个金字塔的收益是负数，也会发生该金字塔和周围金字塔面积重叠后，共同的建造成本降低，导致最终收益大于成本。所以，在这个问题中，每个金字塔的建造与否，是一个逐层推进的过程。

动态规划算法解决问题

动态规划算法（Dynamic Programming，DP）通常用于求解具有某种最优性质的问题。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。在本题中，每个金字塔的建造与否，都可以作为一个子问题来进行分析，同时每个金字塔的建造与否，都与其周围的金字塔有密切的关系，都需要用到周围金字塔的数据。

所以，综合分析后，我们最终拟采用动态规划算法来解决本题。

首先，系统输入的每座金字塔数据，是金字塔的顶点坐标和收益。但是该金字塔的顶点是等腰直角三角形的直角顶点，该顶点不在x周上，不方便判断金字塔与金字塔之间的位置关系，所以需要将其转化成左顶点l、右顶点r，和权重w。转化后，我们的关注点将集中在右顶点r上。

然后，对输入的n个三角形，需要进行一次排序，即按照三角形的左顶点从小到大排序，同时记录所有右顶点的最大值maxr。此外，还需要定义一个数组dp[j]，并初始化为无穷小，用来表示区间[0，j]上的最大收益。这里j的变化范围是[0，maxr]。

接下来，需要对每个金字塔x[i]执行一次循环。对于每次循环，需要计算出从第1个金字塔到当前第i个金字塔的最大收益。

最后，在每次循环中，需要对每个坐标(0，j)处的最大收益dp[j]进行更新。这里更新采用倒序更新，即j的取值，从maxr到0。关于如何更新，这里主要有三种情况，或者说是三种状态转移方程：

(1) 当j大于等于x[i]的右顶点坐标r时，记为，说明当前金字塔全部包含在[0，j]之间，所以只需要对建造该金字塔和不建造该金字塔的收益中，取较大者。即为：

dp[j]=max⁡{dp[j]+0 ,dp[j]+x[i].w}

(2) 当 x[i].r>j≥x[i].l 时，此时金字塔的局部在 [0,j] 内，这时我们就不关心j位置，而是关系该金字塔的右顶点处（ x[i].r ）的最大净收益。对于 dp[x[i].r] 位置的最大净收益，是建造当前金字塔的收益w减去多建设的面积，即 w-[S(x[i].l ,x[i].r)-S(x[i].l ,j)] ，所以该阶段的状态转移方程为：

dp[x[i].r]=max⁡{dp[x[i].r] ,dp[j]+w-[S(x[i].l ,x[i].r)-S(x[i].l ,j)]}

(3) 当 j<x[i].l 时，其状态转移方程和上面类似，只是这里的 S(x[i].l ,j) 不存在，故状态转移方程为：

dp[x[i].r]=max⁡{dp[x[i].r] ,dp[j]+w-S(x[i].l ,x[i].r)}

(4) 上述三个条件是考虑了和周围的金字塔的相关性，接下来需要加上只有建造当前金字塔时的净收益，和前面计算的净收益，取较大者。所以这里的状态转移方程为：

dp[x[i].r]=max⁡{dp[x[i].r] ,w-S(x[i].l ,x[i].r)}

当上述过程执行完毕后，dp[j]中的所有数据，表示的即为[0，j]的所有收益，也就是所有区间的收益。然后对这所有的区间遍历，找到收益的最大值，即为题目的最终答案。

3.2 算法流程图

3.3 核心数据结构

本题目用到的核心数据结构主要有两个。

一个是表示三角形的左边界、右边界和收益的结构体，其定义如下：

struct tri {
	//每个三角形的左边界，右边界，收益
	int l, r, w;
}x[1100];

另一个是记录从0到j范围内的最大收益的数字：

double dp[2100];

根据题目给出的数据范围得知，金字塔（三角形）的个数最多为1000，故三角形的个数x取值到1100。金字塔顶点的横坐标最大为1000，表示到坐标轴上，右顶点（边界）横坐标的最大值为2000，故记录每个横坐标节点收益的数组取值到2100。

3.4 时间复杂度分析

在本题中，时间复杂度主要集中在逐个三角形求解的双重循环中，所以其时间复杂度为O(n²)。

4、实现

4.1 编程语言与环境

C/C++语言
Microsoft Visio Studio 2017

4.2 完整源码

// 建造金字塔.cpp : 此文件包含 "main" 函数。程序执行将在此处开始并结束。
//
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<algorithm> //max函数，sort函数
#include<string>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

//dp[j]表示[0,j]范围内的最大收益
double dp[2100];

struct tri {
	//每个三角形的左边界，右边界，收益
	int l, r, w;
}x[1100];

int n;//订单数目

//比较，按照左边界由小到大排序
int compare(tri k1, tri k2) {
	return k1.l < k2.l;
}

//长度为k的底边的三角形面积
double Area(int k) {
	return k * k / 4.0;
}

//求解
double solve()
{
	//输入订单数目
	cin >> n;

	//maxr表示最大的右边界
	int maxr = 0;

	//输入n组数据
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k1, k2, k3;
		//分别表示：顶点横坐标，顶点纵坐标，收益
		cin >> k1 >> k2 >> k3;

		//将输入的数据，保存至结构体数组中
		x[i] = tri{ k1 - k2, k1 + k2, k3 };

		//找出最大右边界
		maxr = max(maxr, k1 + k2);
	}

	//按照左边界由小到大排序
	sort(x + 1, x + n + 1, compare);

	//初始化每个点的最大收益为无穷小
	for (int i = 0; i <= maxr; i++)
		dp[i] = -1e18;

	//求到每个三角形处的最大收益，
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{

		for (int j = maxr; j >= 0; j--) {
			//当j大于等于右边界时候，取建设i金字塔和不建设的最大值
			if (j >= x[i].r)
				dp[j] = max(dp[j], dp[j] + x[i].w);

			//计算净成本，然后w减去净成本就是多出来的收益
			else if (j >= x[i].l)
				dp[x[i].r] = max(dp[x[i].r], dp[j] - Area(x[i].r - x[i].l) + Area(j - x[i].l) + x[i].w);

			//多出来的收益就是第i个金字塔的收益w减去它的面积
			else
				dp[x[i].r] = max(dp[x[i].r], dp[j] - Area(x[i].r - x[i].l) + x[i].w);
		}

		//最后再取只建造自己时候的较大者
		dp[x[i].r] = max(dp[x[i].r], x[i].w - Area(x[i].r - x[i].l));
	}

	double maxdp = 0;
	for (int i = 0; i <= maxr; i++)
		maxdp = max(maxdp, dp[i]);//取所有范围中的最大者
	return maxdp;
}

int main() {
	//freopen("t.txt", "r", stdin);
	int t;
	scanf("%d", &t); //数据的组数
	for (int i = 1; i <= t; i++) {
		printf("Case #%d: %.2lf\n", i, solve());
	}
	return 0;
}

5、结对编程

略

5.1 分组依据

略

5.2 角色切换与任务分工

略

5.3 工作照片

略

5.4 工作日志

略

5.5 计划与实际进度

略

6、总结

略

以上。

标签：结对,int,1157,建造,软件工程,顶点,金字塔,收益,dp
来源： https://blog.csdn.net/cxh_1231/article/details/113824030

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