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算法笔记【7】 最短路问题

最短路问题简介

这篇文章应该会很长，因为我们要探讨图论中一个基本而重要的问题：最短路问题。如下图，我们想知道，某点到某点最短的路径有多长？

最短路问题分为两类：单源最短路和多源最短路。前者只需要求一个固定的起点到各个顶点的最短路径，后者则要求得出任意两个顶点之间的最短路径。我们先来看多源最短路问题。

Floyd算法(弗洛伊德算法)

我们用Floyd算法解决多源最短路问题：

public static int[][] floyd(int[][] e) {
    for (int k = 0; k < e.length; k++) {
        for (int i = 0; i < e.length; i++) {
            if (i == k) continue;
            for (int j = 0; j < e.length; j++) {
                if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j]) {
                    e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
                }
            }
        }
    }
    return e;
}

几行代码，简洁明了。Floyd本质上是一个动态规划的思想，每一次循环更新经过前k个节点，i到j的最短路径。

这甚至不需要特意存图，因为dist数组本身就可以从邻接矩阵拓展而来。初始化的时候，我们把每个点到自己的距离设为0，每新增一条边，就把从这条边的起点到终点的距离设为此边的边权（类似于邻接矩阵）。其他距离初始化为INF（一个超过边权数据范围的大整数，注意防止溢出）。

public class Arithmetic7 {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] map = new int[][]{{0, 2, 6, 4},
                {Integer.MAX_VALUE, 0, 3, Integer.MAX_VALUE},
                {7, Integer.MAX_VALUE, 0, 1},
                {5, Integer.MAX_VALUE, 12, 0}};
        int[][] floyd = floyd(map);
        System.out.println(floyd[3][2]);
    }

    public static int[][] floyd(int[][] e) {
        for (int k = 0; k < e.length; k++) {
            for (int i = 0; i < e.length; i++) {
                if (i == k) continue;
                for (int j = 0; j < e.length; j++) {
                    if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j]) {
                        e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
                    }
                }
            }
        }
        return e;
    }

}

如果你还是没懂，现在我们来看Floyd的具体过程。

第一趟，k=1：

很明显，没有一个距离能通过经由1号点而减短。

这里，dist[1][4]通过经由2号点，最短路径缩短了。

第三趟，k=3：

这时虽然1->3->4的路径比1->4短，但是dist[1][4]已经被更新为3了，所以这一趟又白跑了。接下来k=4显然也更新不了任何点。综上，每一趟二重循环，实际上都是在考察，能不能经由k点，把i到j的距离缩短？

Floyd的时间复杂度显然是 O(n^3) ，同时拥有 O(n^2) 的空间复杂度（本文用n表示点数，m表示边数），都比较高，所以只适用于数据规模较小的情形。

一般而言，我们更关心的是单源最短路问题，因为当起点被固定下来后，我们可以使用更快的算法。

Bellman-Ford算法（贝尔曼-福特算法）

因为起点被固定了，我们现在只需要一个一维数组dist[]来存储每个点到起点的距离。如下图，1为起点，我们初始化时把dist[1]初始化为1，其他初始化为INF。

想想看，我们要找到从起点到某个点的最短路，设起点为S，终点为D，那这条最短路一定是S->P1->P2->…->D的形式，假设没有负权环，那这条路径上的点的总个数一定不大于n。

现在我们定义对点x, y的松弛操作是：

//这里的e[x][y]表示x、y之间的距离，具体形式可能根据存图方法不同而改变
dist[y] = Math.min(dist[y], dist[x] + e[x][y]);

松弛操作就相当于考察能否经由x点使起点到y点的距离变短。

所以要找到最短路，我们只需要进行以下步骤：

1. 先松弛S, P1，此时dist[P1]必然等于e[S] [P1]。
2. 再松弛P1, P2，因为S->P1->P2是最短路的一部分，最短路的子路也是最短路（这是显然的），所以dist[P2]不可能小于dist[P1]+e[P2]，因此它会被更新为dist[P1]+e[P2]，即e[S]+e[P1]。
3. 再松弛P2, P3，……以此类推，最终dist[D]必然等于e[S] [P1]+e[P1]+…，这恰好就是最短路径。

说得好像很有道理，但是问题来了，我怎么知道这些P1、P2是什么呢？我们不就是要找它们吗？关键的来了，Bellman-Ford算法告诉我们：

把所有边松弛一遍！

因为我们要求的是最小值，而多余的松弛操作不会使某个dist比最小值还小。所以多余的松弛操作不会影响结果。把所有边的端点松弛完一遍后，我们可以保证S, P1已经被松弛过了，现在我们要松弛P1, P2，怎么做呢？

再把所有边松弛一遍！

好了，现在我们松弛了P1, P2，继续这么松弛下去，什么时候是尽头呢？还记得我们说过吗？最短路上的点的总个数一定不大于n，尽管一般而言最短路上的顶点数比n少得多，但反正多余的松弛操作不会影响结果，我们索性：

把所有边松弛n-1遍！

这就是Bellman-Ford算法，相信你已经意识到，这是种很暴力的算法，它的时间复杂度是 O(mn) 。代码如下：

public static int[] bellmanFord() {
    //接点数
    int n = 4;
    //边数量
    int m = 5;
    Graph2 graph2 = new Graph2(n, m);
    graph2.add(0, 1, 1);
    graph2.add(0, 2, 4);
    graph2.add(0, 3, 6);
    graph2.add(1, 3, 2);
    graph2.add(2, 3, 1);
    Graph2.Edge[] edges = graph2.edges;
    int[] dist = new int[n];
    for (int i = 1; i < dist.length; i++) {
        dist[i] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    for (int j = 0; j < n - 1; ++j) {
        for (int i = 0; i < edges.length - 1; ++i) {
            dist[edges[i].to] = Math.min(dist[edges[i].to], dist[edges[i].from] + edges[i].w);
        }
    }
    return dist;
}

几行代码，比Floyd还简单。这里用的是链式前向星存图，但是建议存的时候多存一个from，方便遍历所有边。当然其实并没什么必要，这里直接暴力存边集就可以了，因为这个算法并不关心每个点能连上哪些边。

很显然我这个图太简单了一点，只遍历了一遍所有边，就把所有最短路求出来了。但为了保证求出正解，还需要遍历两次。

我们之前说，我们不考虑负权环，但其实Bellman-Ford算法是可以很简单地处理负权环的，只需要再多对每条边松弛一遍，如果这次还有点被更新，就说明存在负权环。因为没有负权环时，最短路上的顶点数一定小于n，而存在负权环时，可以无数次地环绕这个环，最短路上的顶点数是无限的。

SPFA算法

O(mn)的复杂度显然还是太高了，现在我们想想，能不能别这么暴力，每次不松弛所有点，而只松弛可能更新的点？

我们观察发现，第一次松弛S, P1时，可能更新的点只可能是S能直接到达的点。然后下一次可能被更新的则是S能直接到达的点能直接到达的点。SPFA算法正是利用了这种思想。

SPFA算法，也就是队列优化的Bellman-Ford算法，维护一个队列。一开始，把起点放进队列：

我们现在考察1号点，它可以到达点2、3、4。于是1号点出队，2、3、4号点依次入队，入队时松弛相应的边。

现在队首是2号点，2号点出队。2号点可以到达4号点，我们松弛2, 4，但是4号点已经在队列里了，所以4号点就不入队了（之后解释原因）。

因为这张图非常简单，后面的流程我就不画了，无非是3号点出队，松弛3, 4，然后4号点出队而已。当队列为空时，流程结束。

为了表明SPFA的优越性，我们再来看一个稍微复杂一点的图（在原图基础上增加一个5号点）：

这张图，按照Bellman-Ford算法，需要松弛8*4=32次。现在我们改用SPFA解决这个问题。

显然前几步跟上次是一致的，我们松弛了1, 2、1, 3、1, 4，现在队首元素是2。我们让2出队，并松弛2, 4、2, 5。5未在队列中，5入队。

3号点没能更新什么东西：

然后4号点出队，松弛4, 5，然后5号点已在队列所以不入队。

最后5号点出队，dist[3]未被更新，所以3号点通往的点不会跟着被更新，因此3号点不入队，循环结束。

这个过程中，我们只进行了6次松弛，远小于B-F算法的32次，虽然进行了入队和出队，但在n、m很大时，SPFA通常还是显著快于B-F算法的。·（据说随机数据下期望时间复杂度是 O(m+nlogn)总结一下，SPFA是如何做到“只更新可能更新的点”的？

1. 只让当前点能到达的点入队
2. 如果一个点已经在队列里，便不重复入队
3. 如果一条边未被更新，那么它的终点不入队

原理是，我们的目标是松弛完 S->P1-> P2 ->······D ，所以我们先把 S 能到达的所有点加入队列，则 P1 一定在队列中。然后对于队列中每个点，我们都把它能到达的所有点加入队列（不重复入队），这时我们又可以保证 P2 一定在队列中。另外注意到，假如 Pi -> Pi+1是目标最短路上的一段，那么在松弛这条边时它一定是会被更新的，所以如果一条边未被更新，它的终点就不入队。

我们用一个flag[]数组来记录一个点是否在队列里，于是SPFA的代码如下：

public static int[] spfa() {
    int n = 7;
    int m = 12;
    //先用链式向前星存图
    Graph2 graph2 = new Graph2(n, m);
    graph2.add(0, 1, 24);
    graph2.add(0, 2, 8);
    graph2.add(0, 3, 15);
    graph2.add(1, 4, 6);
    graph2.add(2, 4, 7);
    graph2.add(2, 5, 3);
    graph2.add(3, 6, 4);
    graph2.add(4, 6, 9);
    graph2.add(5, 3, 5);
    graph2.add(5, 4, 2);
    graph2.add(5, 6, 3);
    graph2.add(6, 1, 3);
    Graph2.Edge[] edges = graph2.edges;
    int[] head = graph2.head;

    // 用于标记下标节点是否进入队列
    boolean[] flag = new boolean[n];

    // 初始化最短路径表
    int[] path = new int[n];
    for (int i = 1; i < path.length; i++) {
        path[i] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    //创建队列获取
    PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();
    //队列中放入第一个节点
    queue.add(0);
    //循环获取队列中的节点
    while (!queue.isEmpty()) {
        Integer poll = queue.poll();
        for (int e = head[poll]; e != -1; e = edges[e].next) {
            int to = edges[e].to;
            int from = edges[e].from;
            int w = edges[e].w;
            //队列中没有就加入队列
            if (!flag[to]) {
                queue.add(to);
                flag[to] = true;
            }
            //比较路径距离
            if (path[to] > path[from] + w) {
                path[to] = path[from] + w;
            }
        }
    }
    return path;
}

这个算法已经可以A掉洛谷P3371的单源最短路径（弱化版）了。然而它的时间复杂度不稳定，最坏情况可以被卡成Bellman-Ford，也就是O(mn) 。现在不少最短路的题会刻意卡SPFA，所以会有大佬说：SPFA死了。然而这仍然不失为一种比较好写、通常也比较快的算法。

SPFA也可以判负权环，我们可以用一个数组记录每个顶点进队的次数，当一个顶点进队超过n次时，就说明存在负权环。（这与Bellman-Ford判负权环的原理类似）

Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)

Dij基于一种贪心的思想，我们假定有一张没有负边的图。首先，起点到起点的距离为0，这是没有疑问的。现在我们对起点和它能直接到达的所有点进行松弛。

因为没有负边，这时我们可以肯定，离起点最近的那个顶点的dist一定已经是最终结果。为什么？因为没有负边，所以不可能经由其他点，使起点到该点的距离变得更短。

那现在我们来考察2号点：

我们对2号点和它能到达的点进行松弛。这时dist保存的是起点直接到达或经由2号点到达每个点的最短距离。我们这时候取出未访问过的dist最小的点（即4号点），这个点的dist也不可能变得更短了（因为其他路径都至少要从起点直接到达、或者经由2号点到达另一个点，再从这另一个点到达4号点）。

继续这个流程，松弛4号点能到达的点：

然后分别考察3、5号点，直到所有点都被访问过即可。

总结一下，Dijkstra算法的流程就是，不断取出离顶点最近而没有被访问过的点，松弛它和它能到达的所有点。

代码如下

 /**
  * Dijkstra 算法
  */
public static int[] dijkstra(int[][] weight, int start) {
    // 接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
    // 返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
    int n = weight.length; // 顶点个数
    int[] shortPath = new int[n]; // 保存start到其他各点的最短路径
    String[] path = new String[n]; // 保存start到其他各点最短路径的字符串表示
    for (int i = 0; i < n; i++)
        path[i] = new String(start + "-->" + i);
    int[] visited = new int[n]; // 标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出

    // 初始化，第一个顶点已经求出
    shortPath[start] = 0;
    visited[start] = 1;

    for (int count = 1; count < n; count++) { // 要加入n-1个顶点
        int k = -1; // 选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
        int dmin = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) {
                dmin = weight[start][i];
                k = i;
            }
        }

        // 将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
        shortPath[k] = dmin;
        visited[k] = 1;

        // 以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //如果 '起始点到当前点距离' + '当前点到某点距离' < '起始点到某点距离', 则更新
            if (visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]) {
                weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
                path[i] = path[k] + "-->" + i;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {

        System.out.println("从" + start + "出发到" + i + "的最短路径为：" + path[i]);
    }
    return shortPath;
}

--------------最后感谢大家的阅读，愿大家技术越来越流弊！--------------

--------------也希望大家给我点支持，谢谢各位大佬了！！！--------------

标签：松弛,dist,int,短路,add,笔记,graph2,算法,号点
来源： https://blog.csdn.net/Zack_tzh/article/details/113201699

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