问题
什么是最长公共子序列呢?好比一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。
举个例子，如：有两条随机序列，如 1 3 4 5 5and 2 4 5 5 7 6，则它们的最长公共子序列便是：4 5 5。
解析
Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）
Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）。
若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
设计
//伪代码
L(A,B,L){//字符串A，B，所求矩阵L
for(k=1;k<=m;k++){ //m 为A 的长度
for(i=1;i<=m;i++){
if(i<k) L[k][i]=N;//i<k 时,L(k,i)=null，N 代表无穷大
if(L[k][i]==k)//L(k,i)=k 时,L(k,i+1)=L(k,i+2)=…L(k,m)=k
for(l=i+1;l<=m;l++)
{ L[k][l]=k;
Break;}
for(j=1;j<=n;j++){//定理4 的实现
if(A[i+1]==B[j]&&j>L[k-1][i]){
L[k][i+1]=(j<L[k][i]?j:L[k][i]);
break;
}
if(L[k][i+1]==0)
L[k][i]=N;
}
if(L[k][m]==N)
{p=k-1;break;}
}
p=k-1;
}
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1001][1001],a1[2001],a2[2001],n,m;
int main() {
//dp[i][j]表示两个串从头开始，直到第一个串的第i位
//和第二个串的第j位最多有多少个公共子元素
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a1[i],dp[i][0]=0;
for(int i=1; i<=m; i++)cin>>a2[i],dp[0][i]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
if(a1[i]==a2[j])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
//因为更新，所以++;
}
}
cout<<dp[n][m];
}
标签：LCS,Yn,yn,xm,算法,Xm,序列 来源： https://www.cnblogs.com/zhhhb/p/12972553.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。