标签：MST Prim mst MINedge 最小 生成 算法 顶点 贪心
最小生成树Prim算法
最小生成树（MST）是图论当中一个重要的算法，在实际生活中具有广泛的应用。有多种算法可以解决最小生成树问题，这里讲解Prim算法。
问题描述
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
最小生成树其实是最小权重生成树的简称。
分析设计
Prim算法是解决最小生成树问题的经典算法之一。
其主要思想为：
- 从点出发；从图G中找到一个点a作为起始点（不一定是最终最小生成树的树根），加入到MST集合中；
- 从与a相邻的顶点中选出权值最小的边，对应点为顶点b，将b也加入到MST中。这样就找到了一组最小生成树的邻接边（树枝）；
- 不断在G-MST集合（即剩余顶点）中的找到一个顶点v，使得v到MST集合中任意一点的权值最小，将v加入MST中；
- 重复第3步，直至所有点都在MST中。此时，最小生成树就建好了。
gif制作来源于VisuAlgo https://visualgo.net/zh/sorting
现在我们就大致知道了Prim算法的基本思路，接下来就是具体实现。
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我们采用二位数组邻接矩阵的数据结构来储存图的相关信息；最小生成树采用结构体数组的形式存储：存储顶点a，顶点b，邻接边权值w；
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构造数组MINedge[n]，其中n为顶点数。MINedge[i]表示顶点i到MST集合中任意一点的最小权值；MINedge[i]=−1表示顶点i在MST中。
如在此图中，此时，点v1为最小生成树的顶点（即v1在MST中），则MINedge[2]=2、MINedge[3]=4、MINedge[4]=1、MINedge[1]=−1； -
构造mst[n]数组，其中n为顶点数。mst[i]对应MINedge[i]，表示顶点i和顶点mst[i]的邻接边为MINedge[i]。mst[i]=0表示顶点i在MST中。
如在上图中，mst[1]=0、mst[2]=1、mst[3]=1、mst[4]=1; -
构造完成。从顶点1出发；
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遍历MINedge找出最小值w，以及对应的顶点a（数组下标），找出对应的mst数组中对应的顶点b。这样最小生成树的一根树枝就找到了。将a，b，w的信息放入最小生成树的数组中保存。将MINedge[a]置为-1，mst[a]置为0；
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因为MST中又加入了一个顶点，因此要更新MINedge数组：将a的邻接边权值与MINedge中对应顶点的值比较，保留小的值，同时若更新了MINedge也要更新mst；
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重复第5步，直到所有顶点都在MST中。最小生成树构造完成。
源代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//最小生成树
typedef struct Tree {
int vexa;
int vexb;
int edge;
};
vector<Tree> tree;
int prim(vector<vector<int> > &g) {
int vex = g.size() - 1; //顶点个数
int cost = 0; //最终生成树权值
vector<int> mst(vex + 1); //MST[i]表示顶点i连到MST中的哪个顶点，值=0时表示在MST中
vector<int> MINedge(vex + 1); //顶点i的邻接边中的最小值，值=-1时表示在MST中
mst[1] = 0; //将点1放入MST
for (int i = 1; i <= vex; i++) {
MINedge[i] = g[1][i];
mst[i] = 1;
}
for (int i = 2; i <= vex; i++) {
int MINvex = 0; //最小边顶点
int MINcost = INT_MAX; //最小权值
for (int j = 2; j <= vex; j++) {
if (MINedge[j] < MINcost && MINedge[j] != -1) { //最小边顶点不在MST中（两个顶点不能都在MST中）
MINvex = j;
MINcost = MINedge[j];
}
}
Tree t; //将点放入MST中
t.vexa = mst[MINvex];
t.vexb = MINvex;
t.edge = MINcost;
tree.push_back(t);
cost += MINcost;
MINedge[MINvex] = -1;
//更新MINedge
for (int i = 2; i <= vex; i++) {
if (g[MINvex][i] < MINedge[i]) {
MINedge[i] = g[MINvex][i];
mst[i] = MINvex;
}
}
}
return cost;
}
int main() {
//初始化图
int vexNum, edgeNum;
cout << "输入顶点个数、边数：";
cin >> vexNum >> edgeNum;
vector<vector<int> > graph(vexNum + 1, vector<int>(vexNum + 1, INT_MAX));
cout << "输入邻接边及权值a b w" << endl;
int a, b, w;
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
cin >> a >> b >> w;
graph[a][b] = w;
graph[b][a] = w;
}
for (int i = 1; i <= vexNum; i++)
graph[i][i] = 0;
int cost = prim(graph); //prim算法
cout << endl << "最小生成树组成：" << endl;
for (int i = 0; i < tree.size(); i++) {
cout << tree[i].vexa << " -> " << tree[i].vexb << " = " << tree[i].edge << endl;
}
cout << "总权值为：" << cost << endl;
system("pause");
return 0;
}
/*
1 2 2
1 3 4
1 4 1
2 4 3
2 5 10
3 4 2
3 6 5
4 5 7
4 6 8
4 7 4
5 7 6
6 7 1
*/
运行结果
标签：MST,Prim,mst,MINedge,最小,生成,算法,顶点,贪心 来源： https://blog.csdn.net/weixin_42182525/article/details/100016792
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