Prim 算法求解最小生成树

2022-06-22 20:01:44 阅读：142 来源： 互联网

c++

Prim 算法求解最小生成树。 O(N^2) 和 O(mlog m)

/*
 * 最小生成树
 * 最小生成树是图论中最为常见的问题之一，不过相比于最短路中的单源最短路和多源最短路，最小生成树算法主流仅有两种。
 * 分别是 Prim 算法和 Kruskal 算法。这两个算法一个是基于点的算法，一个是基于边的算法。
 * 这两者的关系有些像 最短路中 Dijkstra 和 Bellmanford。其中，Prim 算法和 Dijkstra 的流程图几乎一致。
 * 此次，我们将要介绍著名的 Prim 算法。
 *
 * 算法流程：
 *      假设，我们在构建最小生成树过程中，加入树中的点集为 U，不在树中的点集为 V。
 *      Step 1:
 *          任意加入一个点 到 U 中，同理其他的节点都应该在 V中。
 *      Step 2:
 *          不断从 V 中选择距离集合 U 最近的点，加入 U 中，直到所有点都在 U 中，或者是 V 中剩余的点不可达 U
 *      Step 3:
 *          倘若所有的点都加入了 U ，最小生成树已经构成，否则该图无法构成最小生成树。
 * 算法证明：
 *      对于这种迭代算法，仅需要证明其在 i -> i + 1次，算法仍然成立即可。
 *      假如说，我们 集合 Ui -> U(i+1) 是，加入的是点 u，对应边为 edge1 ，不妨考虑，有没有一种可能，不在这里加入 u，而是在其他位置加入 u 呢？
 *
 *      假如说，有一种解决方案，得到了最小生成树，但是加入 u 点不在此处，而是更为靠后。那我们在树中，加入 edge1，形成环。因为 edge 1 是集合 U和
 *      集合 V 中最近的边，其它边肯定是大于等于 edge1，那么我们拿掉这个边，换上 edge1，此时的生成树代价小于等于最小生成树。他也一定是一个最小生成树。
 *
 * 算法复杂度:
 *      因为操作步骤和 Dijkstra 相同，复杂度一样为 O(Mlog M)或者是 O(N^2)
 * 注意点：
 *      这是无向图
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 510, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;

int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];
int n, m;

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

// n^2
int Prim_n_2() {
    int ret = 0;
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    int u, v;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        u = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
            if (st[j] == false && (u == -1 || dist[u] > dist[j])) {
                u = j;
            }
        }

        if (u == -1 || dist[u] >= INF) {
            return INF;
        }
        st[u] = true;
        ret += dist[u];

        for (int j = h[u]; ~j; j = ne[j]) {
            v = e[j];
            dist[v] = min(dist[v], w[j]);
        }
    }
    return ret;
}


// mlog m
int Prim_mlogm() {
    int ret = 0;
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;
    heap.push(PII(0, 1));

    int u, v, d, d2;
    PII cur;
    while (heap.empty() == false) {
        cur = heap.top();   heap.pop();
        d = cur.first, u = cur.second;
        if (st[u] == true) {
            continue;
        }
        st[u] = true;
        ret += d;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            v = e[i];
            d2 = w[i];
            if (dist[v] > d2) {
                dist[v] = d2;
                heap.push(PII(d2, v));
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        if (st[i] == false) {
            return INF;
        }
    }
    return ret;
}

int main()
{
    // initialize
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(ne, -1, sizeof ne);
    idx = 0;

    // input
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while (m -- ) {
        static int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }

    int res = Prim_mlogm();
    if (res >= INF / 2) {
        printf("impossible\n");
    } else {
        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}

标签：dist,求解,int,st,算法,Prim,include
来源： https://www.cnblogs.com/lucky-light/p/16402102.html

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