异想之旅：本人原创博客完全手敲，绝对非搬运，全网不可能有重复；本人无团队，仅为技术爱好者进行分享，所有内容不牵扯广告。本人所有文章仅在CSDN和个人博客（一定是异想之旅域名）发布，除此之外全部是盗文！
洛谷 P3383 线性筛素数
题目描述
如题，给定一个范围 n n n，有 q q q 个询问，每次输出第 k k k 小的素数。
输入格式
第一行包含两个正整数 n , q n,q n,q，分别表示查询的范围和查询的个数。
接下来 q q q 行每行一个正整数 k k k，表示查询第 k k k 小的素数。
输出格式
输出 q q q 行，每行一个正整数表示答案。
输入输出样例
In 1：
100 5
1
2
3
4
5
Out 1：
2
3
5
7
11
数据范围
对于 100 % 100\% 100% 的数据， n = 1 0 8 n = 10^8 n=108， 1 ≤ q ≤ 1 0 6 1 \le q \le 10^6 1≤q≤106，保证查询的素数不大于 n n n。
保证查询的素数不大于 n n n ，又有 n ≤ 1 0 8 n ≤ 10^8 n≤108 ，即本题无需开
long long，比赛时一定要注意这些细节（给自己和大家的提醒）！
题解
本题就是模板题，那么我们直接开始讲欧拉筛法。
原理很简单，我们从数字2开始记录下素数，并将每个数（不一定是质数合数）的一定范围内的所有整数倍标记为非素数。而重点就在于这个一定范围内如何处理，请大家先看代码，我们再讲解。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ss[100000001], cnt; // ss: ss[i]表示第i个素数，cnt: ss的长度，即素数的个数
bool pd[100000001]; // pd: pd[i]表示i是否是素数
inline void read(int &x){ // 快读不说了
x = 0;
short fs = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){
if(c == '-')fs = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9'){
x = x * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
x *= fs;
}
int main() {
memset(pd, 1, sizeof(pd)); // 默认都是素数，一个一个筛出去
pd[0] = pd[1] = 0; // 0和1不是素数（其实不处理也无所谓不影响本题结果）
int n, q, k;
read(n);
read(q);
// 重点筛数的过程！！！
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (pd[i]) ss[++cnt] = i; // 如果到了这一步仍没有筛掉i，说明i是素数，把它放入素数列表ss
for (int j = 1; j <= cnt && ss[j] * i <= n; j++) { // ①
pd[ss[j] * i] = 0; // (ss[j] * i)肯定是合数，所以把它标记好
if(i % ss[j] == 0) break; // ②
}
}
while(q--){
// q次询问，输出第k个素数
read(k);
printf("%d\n", ss[k]);
}
return 0;
}
①：在第32-34行是真正筛数的过程，会给合数打上标记。在循环条件 j <= cnt && ss[j] * i <= n 中，前者 j <= cnt 保证了 ss[j] 不选到不存在的素数；后者则是保证我们筛到的数小于最大可能要求的素数的值就好了，再往上筛在本题的要求下毫无意义。
②：按照我们目前的思路，我们按理要筛掉所有的满足 j <= cnt && ss[j] * i <= n 条件下的 ss[j] * i ，为什么还会有34行的判断？这就是欧拉筛的绝妙之处——每个数会且只会被筛一遍，大大提高了效率。
为了保证每个数只筛一次，本算法采用的思路是保证每个数字
z
z
z 都是被除了
1
1
1 和
z
z
z 本身之外的 最大因数
y
y
y
×
\times
×最小因数
x
x
x 筛掉。而每当 i % ss[j] == 0 时，对于
z
=
(
i
×
s
s
[
j
+
1
]
)
z = (i \times ss[j+1])
z=(i×ss[j+1]) ，不应被
y
=
i
y=i
y=i，
x
=
(
s
s
[
j
+
1
]
)
x=(ss[j+1])
x=(ss[j+1]) 筛掉，而应被
y
=
{
(
i
/
s
s
[
j
]
)
∗
s
s
[
j
+
1
]
}
y=\{(i / ss[j]) * ss[j+1]\}
y={(i/ss[j])∗ss[j+1]}，
x
=
s
s
[
j
]
x=ss[j]
x=ss[j] 筛掉才对。
证明完不重复，再来看正确性：观察程序发现，对于任意合数 z ′ z' z′ ，我们只要保证当 i = z ′ i=z' i=z′ 时 z ′ z' z′ 被标记即可。而 z ′ z' z′ 会被 y ′ × x ′ y' \times x' y′×x′ 筛出来， y ′ y' y′ 一定出现在 z ′ z' z′ 前，而 z ′ z' z′ 的最小因数 x ′ x' x′ 一定是一个质数（这个自己证吧，分类讨论奇数和偶数），且任意比 x ′ x' x′ 校的素数 x ′ ′ x'' x′′ 不是 y ′ y' y′ 的因数（否则 x ′ x' x′ 的值应为 x ′ ′ x'' x′′）。
https://www.luogu.com.cn/record/68521669，这是标准的欧拉筛也就是本文中给出的代码，五个点总用时3.12秒；https://www.luogu.com.cn/record/68521661，这是本文代码去掉第34行提交的结果，足足用了7.96秒，基本上是卡限时通过的。
参考资料：
P3383 【【模板】线性筛素数】【题解/笔记】 - Eon的小木屋 - 洛谷博客
标签：10,洛谷,ss,int,素数,read,pd,线性 来源： https://blog.csdn.net/weixin_44495599/article/details/122783604
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。