标签：连通 连通性 int 割点 C++ 算法 dfn low 分量
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一.割点和点双连通分量
1.割点
在一个 无向连通图 中，如果删除这个点和这个点关联的所有边，剩下图的连通分量大于 1，也即剩下的图不再连通，那么我们称这个点是 割点。
比如对于下面这个图，割点有两个，分别是 1 和 3。这说明一个图可以有多个割点。
2.点双连通图（点双）
一个点双连通图的定义如下：一个 无向连通图 ，对于任意一个点，如果删除这个点和这个点关联的所有边，剩下的图还是连通的，那么称这个图是一个 点双连通图，也就是点双连通图中不会有割点出现。
下图是一个点双连通图。
3.点双连通分量（点双）
无向图 G 的的所有子图 G' 中，如果 G' 是一个点双连通图，则称图 G′ 为图 G 的点双连通子图。如果一个点双连通子图 G′ 不是任何一个点双连通子图的真子集，则图 G' 为图 G 的 极大点双连通子图，也称为 点双连通分量。
连通图与连通分量（连通块）的区别：https://mp.csdn.net/mp_blog/creation/editor/121315793
二.桥和边双连通分量
1.桥
在一个 无向连通图 中，如果删除某条边，剩下图的连通分量的个数大于 1，也即剩下的图不再连通，那么我们称这条边是 桥。
下图中，用绿色标识的边是桥。
桥与割点的区别：桥针对于边，割点针对与点和与之关联的边。
2.边双连通图（边双）
一个边双连通图的定义如下：一个 无向连通图 ，对于任意一条边，如果删除这条边，剩下的图还是连通的，那么称这个图是一个 边双连通图，也就是边双连通图中不会有桥出现。
下图是一个边双连通图。
3.边双连通分量（边双）
无向图图 G 的的所有子图 G′ 中，如果 G′ 是一个边双连通图，则称图 G′ 为图 G 的 边双连通子图。如果一个边双连通子图 G′ 不是任何一个边双连通子图的真子集，则 G′ 为图 G 的 极大边双连通子图，也称为 边双连通分量。
点双连通和边双连通的区别，用下面这个图就可以很明显的看出来。下图是一个边双连通图，却不是一个点双连通图，它有两个点双连通分量，3 是割点。
4.强连通分量(代码单独为一博文)
前面我们一直都在讨论无向图的连通性，而避开有向图。因为有向图的连通性比较特殊，在有向图中，如果存在点 a 到 b 的路径，却不一定存在 b 到 a 路径。
如果 有向图 G 中任意两个点都 相互可达，则称图 G 是一个 强连通图。
下图是一个强连通图。
有向图 G 的的所有子图 G′ 中，如果 G′ 是一个强连通图，则称图 G′ 为图 G 的 强连通子图。如果一个强连通子图 G′ 不是任何一个强连通子图的真子集，则 G′ 为图 G 的 极大强连通子图，也称为 强连通分量。
二.连通性的理解
- 强连通图中必然存在环
- 一个点只可能属于一个边双连通分量（如果某个点属于两个边双连通分量，这两个边双连通分量可以合并成一个更大的边双连通分量）
- 点双连通图不一定是边双连通图（这个有两个点和一条边的图，是点双而不是边双）
- 边双连通图不一定是点双连通图（漏斗形）
三.求割点与点双连通分量
前面我们已经介绍了割点和点双连通分量的概念，这一节我们将重点关注如何求割点和点双连通分量。
在此之前，我们先介绍 时间戳 的概念，后面求其他几种连通分量都需要用到时间戳。
时间戳是对一个图做深度优先搜索的时候，第一次访问某个点的时间，初始时间为 0，每访问一个点，时间都加 1。反映在代码中如下，我们用dfn数组记录访问每个点的时间。
int times = 0;
int dfn[maxn];
void dfs(int u) {
dfn[u] = ++times;
for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
int v = E[i].v;
if (dfn[v] == 0) {
dfs(v);
}
}
}我们在图上做对每个点只访问一次的 DFS，虽然是在图上，但是实际上，会形成一颗搜索树。在从点 u 访问点 v 的时候，如果 v 之前没有被访问过，那么我们会对 v 继续做 DFS，这样，(u, v) 就是一条 树边。如果 v 已经被访问，并且 v 是 u 的一个祖先，那么 (u, v)(u,v) 就是一条 反向边(返祖边)。
如下左图，以 AA 为根结点进行 DFS，右图中的实线表示树边，虚线表示反向边。数字标识时间戳。
基于前面基础，我们现在来求图的割点。为了简化讨论，我们假设整个图是一个连通图。对于树根来说，显而易见，当且仅当它有两个或者更多的子结点的时候，它才是割点。如下图，子树 1 和 子树 2 之间不会不存在任何边，如果存在的话，子树 1 DFS 的时候就会访问了子树 2 的所有点，而不会由 u 去访问子树 2，那么去掉根结点以后，会形成两个连通块。
对于非根结点，就变得复杂，但是有如下定理。
定理：在无向连通图 G 的 DFS 树中，非根结点 u 是个割点当且仅当 u 存在一个子结点 v，使得 v 及其所有后代都没有反向边连回 u 的祖先（不包括 u）。
证明：如下图，考虑 uu 的任意子结点 v，如果 v 及其后代不能连回 f，则删除 u 之后，f 和 v 不再连通；反过来如果 v 或者它的某个后代存在一条反向边连回 f，则删除 u 之后，以 v 为根的整棵子树都能通过这条反向边和 f 连通。
有了前面的定理，我们用一个 low(u) 来表示 u 以及其后代 最多经过 一条反向边能回到的最早的点的时间戳。对于树边 (u,v) 当有一个 v 满足 low(v)≥dfn(u) 时，u 就是割点。
而更新 low(u) 就很简单了，对于 树边 (u,v)，有 low(u)=min(low(u), low(v))，对于 反向边 (u, v)，有 low(u)=min(low(u),dfn(v))。当然，初始的时候，low(u)=dfn(u)，我们认为自己当然可以回到自己。
经过前面这么多的分析，我们就可以完全写出代码了。注意我们的代码中需要传入一个fa参数表示父节点。
int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
bool iscut[maxn]; // 标记是否是割点
void dfs (int u, int fa) {
dfn[u] = low[u] = ++times;
int child = 0; // 用来处理根结点子结点数
for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
int v = E[i].en;
if (dfn[v] == 0) { // v 没有被访问过，u, v 是树边
++child;
dfs(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if (low[v] >= dfn[u]) {
iscut[u] = true;
}
} else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) { // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (fa < 0 && child == 1) {
// fa < 0 表示根结点，之前根结点一定会被标记为割点, 取消之
iscut[u] = false;
}
} 注意，调用上面的函数，初始fa参数必须传入一个负数，我们一般传入-1，比如dfs(1, -1)
求出了割点以后，我们再来求点双连通分量，求点双连通分量的算法如下:
用一个栈保存边，每次访问一个树边或者反向边的时候，把这条边压入栈中。当通过边 (u, v)(u,v) 找到一个割点 u 的时候，实际上就出现了一个点双连通分量，然后我们一直弹出栈中的边，直到弹出边 (u,v) 停止，这过程中弹出来的所有的边都属于同一个点双连通分量。
所以我们可以在 O(V+E) 的时间复杂度内求出割点和点双连通分量。
代码如下（没有处理重边，若要能处理重边，需要单独标记每条边是否被访问），这里，我们用set记录每个点双连通分量的点集。
int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0; // 点双连通分量数量
bool iscut[maxn]; // 标记是否是割点
set<int> bcc[maxn]; // 记录每个点双连通分量里面的点
stack<edge> S;
void dfs (int u, int fa) {
dfn[u] = low[u] = ++times;
int child = 0; // 用来处理根结点子结点数
for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
int v = E[i].v;
if (dfn[v] == 0) { // v 没有被访问过，u, v 是树边
S.push(E[i]);
++child;
dfs(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if (low[v] >= dfn[u]) {
iscut[u] = true;
++bcc_cnt; // 增加一个点双连通分量
while (true) {
edge x = S.top();
S.pop();
bcc[bcc_cnt].insert(x.u);
bcc[bcc_cnt].insert(x.v);
if (x.u == u && x.v == v) {
break;
}
}
}
} else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) { // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
S.push(E[i]);
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (fa < 0 && child == 1) {
// fa < 0 表示根结点，之前根结点一定被标记为割点, 取消之
iscut[u] = false;
}
}我们以下面的图为例子跑一遍算法。
对 1 号点进行 dfs。
访问 (1,2) 这条边，对 2 做 dfs，并且把边压入栈中。
访问 (2,3) 这条边，对 3 做 dfs，并且把边压入栈中。
访问 (3,1) 这条边，dfn[1]<dfn[3]，这是一条反向边。更新 low[3]=1。
访问] (3,4) 这条边，对 4 做 dfs。
访问 (4,5) 这条边，对 5 做 dfs。
访问 (5,3) 这条边，是反向边。更新 low[5]=3。
没有边访问了，现在开始回溯了。由 5 回溯到 4 更新 4 的 low[4]=3。此时 low[5]<dfn[4]，没找到割点。
然后 4 回溯到 3，此时 low[4]≥dfn[3]，所以 3 是割点了，栈一直弹出边，直到弹出 (3,4) 这条边。得到 3,4,5 是一个点双连通分量。
继续回溯，直到 1，此时 low[2]≥dfn[1]，所以 1 被设置成为割点，栈一直弹出边，直到弹出 (1,2) 这条边。得到点 1,2,3 是一个双连通分量。
最后 1 回溯，由于根结点的特殊性，取消 1 是割点的标记。
至此，算法结束，所有的割点和点双连通分量都求出来了。
总代码：
#include <iostream>
#include <stack>
#include <set>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxm = 1010; // 最大边数
const int maxn = 110; // 最大点数
struct edge {
int u, v;
int next;
} E[maxm];
int p[maxn], eid = 0;
void init() {
memset(p, -1, sizeof(p));
eid = 0;
}
void insert(int u, int v) {
E[eid].u = u;
E[eid].v = v;
E[eid].next = p[u];
p[u] = eid++;
}
int times=0;
int dfn[maxn],low[maxn];
int bcc_cnt=0;
bool iscut[maxn];
set<int> bcc[maxn];
stack<edge> S;
void dfs(int u,int fa){
dfn[u]=low[u]=++times;
int child=0;
for (int i=p[u];i!=-1;i=E[i].next){
int v=E[i].v;
if (dfn[v]==0){
S.push(E[i]);
++child;
dfs(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if (low[v]>=dfn[u]){
iscut[u]=true;
++bcc_cnt;
while (true){
edge x=S.top();
S.pop();
bcc[bcc_cnt].insert(x.u);
bcc[bcc_cnt].insert(x.v);
if (x.u==u && x.v==v){
break;
}
}
}
}else if (dfn[v]<dfn[u] && v!=fa){
S.push(E[i]);
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if (fa<0 && child==1){
iscut[u]=false;
}
}
int main() {
init();
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v;
cin >> u >> v;
insert(u, v);
insert(v, u);
}
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
times = bcc_cnt = 0;
dfs(1, -1);
cout << bcc_cnt << endl;
for (int i = 1; i <= bcc_cnt; ++i) {
for (set<int>::iterator it = bcc[i].begin(); it != bcc[i].end(); ++it) {
cout << (*it) << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}三.桥和边双连通分量
前面我们已经介绍了桥和边双连通分量的概念，这一节我们将重点关注如何求桥和边双连通分量。
求桥和边双连通分量还是会沿用之前求割点和点双连通的理论。
对于一条边 (u,v)，如果 v 及其后代结点能访问 u 及 u 之前，那么删掉边 (u,v) 之后，以 v 为根结点的子树和 u 能连通；反之，如果删除掉边 (u,v)，整个图就不连通了。所以一条边 (u, v) 是桥的条件是 low(v)>dfn(u)。
求边双连通分量和求点双连通分量的方法差不多，不同之处在于我们需要用栈来保存每个顶点而不是边。只需在dfs函数开头出把当前顶点 u 放入栈中，因为每个顶点只会进栈一次，我们只需用vector保存每个边双连通分量，而不需要用set。在dfs结尾，若low[u] == dfn[u]，有两种可能：
- u 是根节点，此时我们需要把栈中的顶点弹出，放在一个新的双连通分量里。
- u 不是根节点，说明
low[u] > dfn[fa]，即fa→u 这条边为桥，我们需要把栈中的顶点弹出，直到 u 为止，然后把这些顶点放在一个新的双连通分量里。
核心代码如下（没有处理重边，若要能处理重边，需要单独标记每条边是否被访问），时间复杂度为 O(V+E)。
int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0; // 边双连通分量数量
vector<int> bcc[maxn]; // 记录每个点双连通分量里面的点
stack<int> S;
void dfs(int u, int fa) {
dfn[u] = low[u] = ++times;
S.push(u);
for (int i = p[u]; i != -1; i = E[i].next) {
int v = E[i].v;
if (dfn[v] == 0) { // v 没有被访问过，u, v 是树边
dfs(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) { // 反向边，注意 v == fa 的时候，是访问重复的边
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) { // 此时 u 是根结点或者 fa -> u 是桥
++bcc_cnt; // 增加一个边双连通分量
while (!S.empty()) { //从栈中弹出 u 及 u 之后的顶点
int x = S.top();
S.pop();
bcc[bcc_cnt].push_back(x);
if (x == u) break;
}
}
}总代码如下：
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxm = 1010; // 最大边数
const int maxn = 110; // 最大点数
struct edge {
int u, v;
int next;
} E[maxm];
int p[maxn], eid = 0;
void init() {
memset(p, -1, sizeof(p));
eid = 0;
}
void insert(int u, int v) {
E[eid].u = u;
E[eid].v = v;
E[eid].next = p[u];
p[u] = eid++;
}
int times = 0;
int dfn[maxn], low[maxn];
int bcc_cnt = 0;
vector<int> bcc[maxn];
stack<int> S;
void dfs(int u, int fa) {
dfn[u] = low[u] = ++times;
S.push(u);
for (int i=p[u];i!=-1;i=E[i].next){
int v=E[i].v;
if (dfn[v]==0){
dfs(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}else if (dfn[v]<dfn[u] && v!=fa){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
++bcc_cnt;
while (true) {
int x = S.top();
S.pop();
bcc[bcc_cnt].push_back(x);
if (x == u) break;
}
}
}
int main() {
init();
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v;
cin >> u >> v;
insert(u, v);
insert(v, u);
}
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
times = bcc_cnt = 0;
dfs(1, -1);
cout << bcc_cnt << endl;
for (int i = 1; i <= bcc_cnt; ++i) {
for (int j = 0; j < bcc[i].size(); j++) {
cout << bcc[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}标签：连通,连通性,int,割点,C++,算法,dfn,low,分量 来源： https://blog.csdn.net/Keven_11/article/details/122748397
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