标签：约数 cnt 数论 质数 int ai 基础课 primes AcWing

一、质数

　　质数是大于1的自然数，只包含1和本身两个约数。

　　1、质数的判定，O(sqrt(n))

　　　　试除法，推荐循环i<=n/i（防止溢出和sqrt计算）

　　2、分解质因子，O(logn~sqrt(n))

 1 for(int i=2;i<=n/i;i++)
 2 {
 3 　　if(n%i==0)
 4 　　{//此时2~i-1的质因子已经除完，i必为质数
 5 　　      int s=0;
 6 　　　   while(n%i==0)
 7 　　　　{
 8 
 9 　　　　　n/=i;
10 　　　　　s++;
11 　　　　}
12             cout<<i<<s<<endl;
13 　　}
14 }
15 if(n!=1)
16     cout<<n<<1<<endl;//最后一个大于sqrt(n)的质因子

View Code

　　3、筛法O(nloglogn)

　　　　获得小于n的全部质数，思想为用全部数筛去后面的非质数

　　　（埃氏筛法可优化为仅用质数去筛质数的倍数，因为非质数一定有质因子，故只筛质数就可以全部筛掉）

　　　　

 1 int primes[N];
 2 bool not_prime[N];
 3 int cnt = 0;
 4 void get_primes(int n)
 5 {
 6     for (int i = 2; i < n; i++)
 7     {
 8         if (!not_prime[i])
 9         {
10             primes[cnt++] = i;
11             for (int j = i + i; j <= n; j += i) not_prime[j] = true;
12         }
13 
14     }
15 
16 }

View Code

　　　　（线性筛法可优化为，仅用当前数和前面的质数进行筛，筛到i%primes[j]==0，非质数会被第一个质因子筛掉）

 

　　　　　　

 1 int primes[N];
 2 bool not_prime[N];
 3 int cnt = 0;
 4 void get_primes(int n)
 5 {
 6     for (int i = 2; i < n; i++)
 7     {
 8         if (!not_prime[i])
 9         {
10             primes[cnt++] = i;
11         }
12         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
13         {
14             not_prime[primes[j]*i] = true;
15             if (i%primes[j] == 0) break;//primes[j]是primes[j]*i的最小质因子
16         }
17         
18 
19     }
20 
21 }

View Code

二、约数

　　1、试除法求所有约数

　　同试触法判断质数，O(sqrt(n))

　　2、约数个数

　　对全部质因数pi和次数ai，有约数个数为连乘Π(ai+1)，（对每个pi，都有ai+1种取法）

　　3、约数之和为连乘kΠ(求和i∑pk^ai)

　　p^0+p^1+...+p^n

　　=

　　{

　　　　t=1;

　　　　for(n)

　　　　　　t=t*p+1;

　　　　return t;

　　}

　　5、辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数

　　

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b, a%b): a;
4 
5 }

View Code

 

标签：约数,cnt,数论,质数,int,ai,基础课,primes,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/ydUESTC/p/15755780.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。