标签:gcd 数论 欧几里得 最大公约数 int 算法 ax
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欧几里得算法
欧几里得算法,即辗转相除法,是指用于计算两个非负整数a,b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。
核心原理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
一个基本的性质:d | a,d | b,d | (a+b),d | (ax + by)
(d能整除a,d能整除b,那么d就能整除a+b,也能整除a的若干倍+b的若干倍)
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
b不为0时,最大公约数是gcd(b, a mod b)
b为0时,最大公约数就是a(0可以整除任何数)
裴蜀定理
在学习扩展欧几里得算法之前,先来简单了解一下裴蜀定理
内容:对于任意正整数a,b,那么一定存在非零整数x,y,使得
ax + by = (a,b) (a和b的最大公约数)
ax + by = d (d为a和b的最大公约数的倍数)
显然,凡是能由a和b凑出来的数,一定是a和b最大公约数的倍数,而其中最小的正整数就是a和b的最大公约数。
而扩展欧几里得是一个算法,它能够在已知任意正整数a和b的前提下,都可以求出符合上述条件的x,y。
扩展欧几里得算法
给定 n 对正整数 ai,bi,对于每对数,求出一组 xi,yi,使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。
思路:
1.当 b = 0 时,a和b的最大公约数就是a,所以有ax + 0y = a,显然 x = 1,y = 0 就是一组解
2.当 b ≠ 0 时,
已知 ,gcd(a,b) = gcd(b,a % b)
递归结束后,就有 by + (a mod b)x = (a,b) = d
a mod b = a - ⌊a/b⌋·b
by + (a % b)x = gcd(b,a % b)
by + (a - ⌊a / b⌋ * b)x = gcd(b,a % b)
ax+ b(y- ⌊a / b⌋ * x) = gcd(b,a % b) = gcd(a,b) = ax + by
所以,x = x ,y = y - ⌊a / b⌋ * x
#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b,a % b,y,x);
//b和a%b的系数分别为y和x
y -= a/b * x;
return d;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n -- )
{
int a,b,x,y;
scanf("%d %d",&a,&b);
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d %d\n",x,y);
}
}
线性同余方程
给定 n 组数据 ai,bi,mi,对于每组数求出一个 xi,使其满足 ai×xi≡bi(mod mi),如果无解则输出 impossible。
考点:扩展欧几里得算法的应用
分析:
a×x≡b(mod m) 等价于 存在一个整数y 使得 ax = my + b,即 ax - my = b,
ax + my’ = b (y’ = -y),这样就转换成了扩展欧几里得算法能够求解的形式,由扩展欧几里得算法可以求出 ax + my = gcd(a,b) 的解,那么怎么 ax + my = b 的解呢,很简单ax + my = gcd(a,b) 等式两边同乘 b / gcd(a,b) 即可前面提到过,此方程有解的充要条件是 (a,m) | b
#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b,a % b,y,x);
//b和a%b的系数分别为y和x
y -= a/b * x;
return d;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n -- )
{
int a,b,m;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&m);
int x,y;
int d = exgcd(a,m,x,y);
if(b % d) puts("impossible"); //b不是(a,b)的倍数
else
printf("%d\n",(long long)x * b/d % m);
}
return 0;
}
标签:gcd,数论,欧几里得,最大公约数,int,算法,ax 来源: https://blog.csdn.net/weixin_46125998/article/details/119299735
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