标签：right bottom CVV 透视 裁剪 投影 投影变换 锥体
透视投影变换之CVV
规则观察体CVV（Canonical View Volume)
为什么
渲染，目的是将三维世界中的场景转换到二维屏幕中，也就是连续物体离散化的过程，从三维坐标至二维坐标的降维过程。看到降维我们首先想到可以通过投影舍弃某一个坐标轴来实现。在现实生活中，我们用照相机拍照时，自然而然的舍弃了从照相机往前看的那个Z轴。
所以在unity我们也是这么做的，将三维物体从自己的坐标系转到世界坐标，再从世界坐标转到视坐标（即相机空间），现在从相机的视角往z轴方向看就能得到一副画面。
但是现在出现一个问题，我们真实可见的范围是有限的，而往z轴方向看得到的画面是无限的，所以还需引入其他规则来裁剪空间使得有限物体是可见的，这就是所谓的视锥体。视锥体是由六个面组成，限定了相机的可见范围，在视锥体中的物体才能被渲染到屏幕上。
简单来说把视锥体中的点投影到与z轴垂直的平面上就得到了一幅画面。我之前一直想不明白，明明可以对投影得到的二维画面进行操作，为什么还需要对三维的视锥体进行变换、为什么需要引入规则观察体CVV（Canonical View Volume）这些复杂的概念呢？
原来，投影的确是得出结果的步骤，但在投影之前有一个重要的步骤被忽略了，也就是判断一个物体是否在相机的视锥体之中，即裁剪。我们能够判断任意物体是否在视锥体之中，但是这是复杂的。相机的视锥体是一个六面体，由相机的近平面、远平面和FOV决定形状，所以具有不确定性，我们无法为不同相机构建一个通用的投影矩阵。为了降低复杂性，为了能够找到统一的解决方案，我们选择了CVV，而CVV作为一个齐次裁剪空间，是对视锥体裁剪空间的标准化。
是什么
(下面的讨论采用OpenGl的标准，左手坐标系，z的范围在[-1，1])
规则观察体CVV（Canonical View Volume），也叫做齐次裁剪空间，是一个
∀
x
、
y
、
z
∈
[
−
1
,
1
]
\forall x、y、z\in\mathbb [-1,1]
∀x、y、z∈[−1,1] 的正方体。
在视空间中对物体进行裁剪比较复杂，所以我们希望把视锥体转为CVV。这又分为三步：第一步是将近平面与远平面之间的物体投影到近平面上（即z’=-n），再沿着Z轴平移到z’=z；第二步是将
x
∈
[
l
e
f
t
,
r
i
g
h
t
]
\ x\in\mathbb [left,right]
x∈[left,right] 变换到
[
−
1
,
1
]
\ [-1,1]
[−1,1],将
y
∈
[
b
o
t
t
o
m
,
t
o
p
]
\ y\in\mathbb [bottom,top]
y∈[bottom,top] 变换到
[
−
1
,
1
]
\ [-1,1]
[−1,1]；第三步是将z值从
[
−
n
,
−
f
]
\ [-n,-f]
[−n,−f]变换到
[
−
1
,
1
]
\ [-1,1]
[−1,1]。（n,f,left,right,bottom,top如下图）
怎么做
第一步：投影+平移（实现近大远小）
根据三角形相似的原理将P点投影到近平面上。
会发现投影点P’ 的z’分量是固定值，我们任意改变它只相当于将近平面任意平移，不会改变投影结果，但原始P点的z分量却丢失了。为了充分利用每一个数值，我们把z’=-n又还原回z，相当于把投影点P’又沿着z轴平移回去，这样就实现了近大远小的效果。如图A、B、C点在x、y方向上值相同，投影+平移以后x、y方向上值与z值的大小关系保持一致，近处（z大）的点变换后得到较大的x、y值。
第二步：裁剪x、y轴，把范围限定到 [ − 1 , 1 ] \ [-1,1] [−1,1]
为了将投影变换写成矩阵的形式，我们借助齐次坐标的概念，增加w分量把三维扩充到四维，这样点与点之间的变换可以用矩阵来表示。
在第一步以后，原始的P点（x，y，z，1）变为了投影点P’（-nx/z，-ny/z，z，1）。
如图根据线性插值将-nx/z和-ny/z的范围限定到[1,-1]，
求得新的x’=(2nx/-z)/(right-left)-(right+left)/(right-left)、y’=(2ny/-z)/(top-bottom)-(top+bottom)/(top-bottom)，这个变化可以写成矩阵形式：
第三步：裁剪z轴，把z’限定到 [ − 1 , 1 ] \ [-1,1] [−1,1]
同时根据视锥体知道z在[-n,-f]区间的点P是可见的，而根据CVV知道z’在[1,-1]区间的点P’是可见的，根据第一步已经得到z=z’，要裁剪z轴可以根据第二步的推导原理让z’=(az+b)/(-z)，如图所示：
未知数a、b由条件-(az+b)/z属于[1,-1]的边界求得
（DX下a、b结果不同，但计算原理相同）
最终结果
点p(x,y,z,1)到规则观察体CVV的投影点P’（(2nx/-z)/(right-left)-(right+left)/(right-left)，(2ny/-z)/(top-bottom)-(top+bottom)/(top-bottom)，(az+b)/(-z)，1）的变换可以由矩阵M来表示。
P’=MP
M如图：
标签：right,bottom,CVV,透视,裁剪,投影,投影变换,锥体 来源： https://blog.csdn.net/diaokeji2017/article/details/116333222
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